trimino

Posez trois petits triangles équilatéraux sur une table. Chaque nouvelle pièce doit partager un côté entier avec au moins une autre : un simple contact par une pointe ne suffit pas. L'ensemble obtenu forme un trimino.

Plusieurs triminos peuvent ensuite être rapprochés comme les pièces d'un puzzle. Le pavage est réussi lorsque toute la zone visée est couverte une fois : aucun triangle ne se superpose à un autre et aucun trou ne subsiste.

Dans la convention triangulaire de cette fiche, un trimino est un assemblage connexe de trois triangles équilatéraux par des côtés complets. « Connexe » signifie que l'on peut passer de chaque triangle à chacun des autres en franchissant seulement des côtés partagés. Un contact limité à un sommet ne relie donc pas deux cellules. Comme les côtés communs ont la même longueur, les trois triangles de l'assemblage ont un même côté.

Si la longueur commune des côtés est notée c, l'aire d'un triangle vaut c²√3/4 et celle du trimino vaut 3c²√3/4. Tourner ou retourner la pièce ne change ni son nombre de cellules ni son aire.

Par extension, un jeu de triminos demande de juxtaposer plusieurs pièces pour paver une région plane. Chaque pièce doit rester entière, les intérieurs ne doivent pas se chevaucher et l'union des pièces doit coïncider avec la région. Le comptage des triangles donne alors une condition nécessaire : le nombre de cellules à couvrir doit être un multiple de trois. Une disposition effective reste toutefois à construire pour prouver que le pavage existe.

On veut paver un hexagone régulier de côté 2 cm, découpé par son centre en six triangles équilatéraux. Les données sont :
• 6 triangles à couvrir ;
• 3 triangles par trimino ;
• un côté de 2 cm pour chaque triangle.

1. Compter les pièces. Le quotient 6 ÷ 3 vaut 2. Deux triminos sont donc nécessaires. Ce calcul vérifie seulement le nombre de cellules ; il faut encore trouver leur placement.

2. Construire le pavage. On réunit les trois triangles consécutifs de la moitié supérieure, puis les trois de la moitié inférieure. Dans chaque groupe, les triangles se suivent par des côtés entiers. Les deux groupes couvrent l'hexagone sans chevauchement ni lacune.

3. Contrôler par les aires. Un triangle de côté 2 cm a pour aire √3 cm². Chaque trimino a donc une aire de 3√3 cm², et les deux pièces couvrent 6√3 cm². C'est exactement l'aire de l'hexagone découpé en six triangles : le comptage et la géométrie concordent.

Dans un jeu de pavage, on commence par repérer le réseau de triangles et le contour à couvrir. On choisit le trimino plutôt qu'une pièce de deux cellules lorsque l'emplacement disponible doit recevoir exactement trois triangles reliés par leurs côtés.

Pour tester un recouvrement, le premier geste est de compter les cellules. Si leur nombre n'est pas divisible par trois, aucun pavage complet par triminos n'est possible ; s'il l'est, on poursuit en essayant des placements sans superposition.

Dans un problème de dénombrement, deux placements ne sont comptés séparément que selon la convention annoncée. Il faut notamment préciser si une rotation ou un retournement produit une nouvelle configuration, puis conserver cette règle pendant tout le comptage.

Trimino et domino. Le critère décisif est le nombre de cellules : le trimino triangulaire en réunit trois, tandis qu'un domino en réunit deux. Pour une zone de six triangles, le comptage impose deux triminos dans tout pavage par triminos, ou trois dominos dans tout pavage par dominos ; il ne garantit pas que ces pavages existent.

Trimino et polyomino. Le support les sépare : le trimino décrit ici est construit sur un réseau de triangles équilatéraux, tandis qu'un polyomino est construit avec des carrés joints côté contre côté. Une figure de trois carrés n'est donc pas le trimino triangulaire traité dans cette fiche.

Trimino et triangulation. Une triangulation découpe une région en triangles, sans imposer de les regrouper par trois. L'hexagone de l'exemple est triangulé en six cellules ; il devient un pavage par triminos seulement après la constitution de deux groupes connexes de trois.

Contact par une pointe. Trois triangles peuvent sembler former un groupe alors que deux d'entre eux se touchent seulement par un sommet. Le symptôme est l'absence de côté commun ; il faut déplacer les cellules pour obtenir un assemblage bord à bord.

Multiple de trois. Une région de 6, 9 ou 12 triangles franchit le test du comptage, mais ce test ne fournit pas à lui seul un pavage. Si les placements se bloquent sur le contour, il faut produire une autre disposition ou démontrer l'impossibilité.

Maillage effacé. Un contour seul ne permet pas toujours de vérifier les trois triangles constitutifs. Il faut rétablir le réseau triangulaire et contrôler que chaque pièce contient exactement trois cellules reliées par des côtés complets.

Convention de comptage. Une pièce tournée ou retournée conserve sa structure, mais un problème peut compter ou non ces placements comme distincts. Si le total varie sans raison géométrique, il faut relire la convention d'équivalence avant de dénombrer.

Le pavage équilatéral prolonge l'étude du support géométrique : il aide à examiner comment des formes régulières s'ajustent pour couvrir le plan.