polyamant

Imaginez une mosaïque faite de petits triangles équilatéraux tous de même côté. En les accolant par des côtés entiers, sans les superposer, vous obtenez une figure composée. Cette figure est un polyamant. Pour connaître son ordre, il suffit de compter ses triangles : deux triangles forment un diamant et trois forment un triamant. Une rotation ou un retournement ne crée pas nécessairement une nouvelle forme : on compte la forme, pas la manière de la poser sur la table.

Un polyamant est une figure plane finie et connexe constituée de triangles équilatéraux congruents, c'est-à-dire de même taille, assemblés bord à bord. « Bord à bord » signifie que deux triangles voisins partagent un côté complet, et non une portion de côté ou un simple sommet. L'ordre est le nombre entier de triangles de la figure.

Le dénombrement identifie deux figures lorsqu'une isométrie du plan — translation, rotation ou symétrie, éventuellement combinées — permet de les faire coïncider. Leur position et leur orientation dans le plan ne changent donc pas leur identité. Cette convention ne confond pas des formes qui ont seulement un sommet ou une partie de côté en commun. Elle conduit à un diamant unique à l'ordre 2 et à un triamant unique à l'ordre 3.

Pour les ordres 4 à 10, les nombres indiqués sont respectivement 3, 4, 12, 24, 66, 160 et 448. Ces valeurs décrivent un dénombrement par ordre, mais aucune formule générale connue ne donne directement le nombre de polyamants pour un ordre arbitraire.

On veut classer une figure formée de quatre triangles équilatéraux identiques. Les données sont les suivantes : le nombre de triangles vaut 4 ; chaque paire de triangles voisine partage un côté complet ; les triangles restent dans un même plan.

On compte les triangles de la figure : 4.
On vérifie que chaque accolage utilisé est un côté entier : la condition bord à bord est respectée.
On applique la définition de l'ordre : l'ordre est égal au nombre de triangles.
On consulte le dénombrement correspondant à l'ordre 4 : il existe 3 tétramants distincts, à rotation ou symétrie près.

La figure observée est donc un tétramant, plus exactement l'un des 3 tétramants recensés. Le contrôle consiste à recompter les quatre triangles et à vérifier qu'aucun accolement ne se réduit à un sommet.

Pour construire un polyamant sur papier, utilisez un réseau de triangles équilatéraux de même côté. Découpez ou coloriez des triangles voisins en vérifiant que chaque nouvel élément partage un côté complet avec la figure déjà obtenue.

Pour classer une figure, comptez ses triangles puis comparez sa forme après rotations et symétries. Cette vérification est préférable à une comparaison d'orientation, car une même figure peut être tournée ou retournée.

Pour un dénombrement, commencez par fixer l'ordre, puis énumérez les assemblages qui respectent le contact bord à bord. Les résultats connus donnent un repère dès l'ordre 2, avec un diamant unique, et l'ordre 3, avec un triamant unique.

Un polyamant ne se confond pas avec une mosaïque de triangles qui se touchent seulement par un sommet. Le critère est le partage d'un côté complet entre triangles voisins ; dans un assemblage comportant au moins deux triangles, si aucun côté n'est partagé entre triangles distincts, l'assemblage ne forme pas un polyamant au sens de cette définition.

Un polyamant ne se confond pas non plus avec une figure obtenue à partir de triangles de tailles différentes. Deux triangles peuvent avoir la même forme tout en n'étant pas de même taille ; la condition pertinente est la congruence, donc la même longueur de côté.

Le premier cas charnière est l'ordre 1 : un triangle équilatéral isolé satisfait la construction, mais il ne porte pas le nom particulier de diamant, réservé à l'ordre 2. À l'ordre 2, le nombre de formes vaut exactement 1 ; à l'ordre 3, il vaut encore exactement 1.

Un contact par un sommet peut donner l'impression d'une figure continue. Le symptôme est l'absence de côté commun entre les triangles concernés. Il faut alors retirer cet élément de l'assemblage ou le déplacer pour obtenir un accolement bord à bord.

La symétrie ne double pas automatiquement le nombre de polyamants : une figure et son image miroir sont identifiées par la convention retenue. Inversement, deux figures qui ne coïncident après aucune translation, rotation ou symétrie restent distinctes.

Les nombres connus augmentent fortement avec l'ordre : 3 tétramants, 4 pentamants, 12 hexamants, 24 heptamants, 66 octamants, 160 ennéamants et 448 décamants. Ces valeurs ne constituent pas une formule générale.

Le dénombrement des polyamants ouvre sur une question de combinatoire géométrique : comment énumérer systématiquement les assemblages possibles lorsque l'ordre augmente ? Les premiers cas se vérifient par exploration organisée, mais la source ne fournit aucune formule générale connue pour un ordre arbitraire.