pavage pentagonal

Imaginez un sol couvert par une seule forme de carreau pentagonal, répétée à la même taille. Les carreaux s'assemblent pour occuper le plan : c'est un pavage pentagonal. Tous les pentagones ne conviennent pas. Dans la classification des pentagones convexes considérée ici, seules quinze familles de conditions permettent un tel assemblage.

Le pavage du Caire en offre un exemple concret : son motif pentagonal est visible sur des trottoirs de la ville.

Un pavage pentagonal est un pavage du plan réalisé avec des copies isométriques d'un même pentagone, c'est-à-dire des copies de même forme et de même taille. Dans le cadre de la classification évoquée ici, le pentagone est convexe. Les côtés et les angles doivent satisfaire des relations qui rendent possible la répétition des copies dans le plan.

La classification compte exactement quinze types. Elle s'est construite par étapes : K. Reinhardt en trouve cinq en 1918, puis R. B. Kerschner en ajoute trois en 1968. R. James en découvre un neuvième en 1975. Marjorie Rice en trouve quatre autres entre 1975 et 1984. Rolf Stein identifie le type 14 en 1985. Une équipe de l'université de Washington Bothell publie le quinzième en août 2015.

En 2017, Mickaël Rao, du CNRS et de l'ENS de Lyon, démontre l'exhaustivité de cette liste : aucun autre type ne s'ajoute aux quinze. Le pavage du Caire appartient à cette classification.

Suivons la classification jusqu'à sa clôture. Données
En 1918, Reinhardt connaît 5 types.
En 1968, Kerschner en ajoute 3.
En 1975, James en ajoute 1.
Entre 1975 et 1984, Rice en ajoute 4.
En 1985, Stein identifie le type 14.
En 2015, l'équipe de Washington Bothell publie le type 15.

Étape 1. Après Kerschner, le total est 5 + 3 = 8 types.

Étape 2. L'ajout de James porte ce total à 8 + 1 = 9 types.

Étape 3. Les quatre découvertes de Rice donnent 9 + 4 = 13 types. Stein apporte ensuite le quatorzième, puis l'équipe de Washington Bothell le quinzième.

Contrôle. Les apports successifs donnent 5 + 3 + 1 + 4 + 1 + 1 = 15. La démonstration de Rao en 2017 établit que ce total est exhaustif.

Devant un motif de sol, on commence par repérer une tuile à cinq côtés, puis ses copies de même forme et de même taille. Si plusieurs formes de tuiles sont nécessaires, le motif n'illustre pas le cadre isométrique étudié ici.

Pour lire une annonce de « nouveau pavage », on distingue un nouveau dessin obtenu avec un type déjà connu d'un nouveau type de pentagone. Cette vérification évite de confondre variété visuelle et extension de la classification.

Pour situer un résultat historique, on rattache chaque date à son apport précis : une découverte ajoute un type, tandis que le résultat de 2017 prouve que la liste de quinze est complète.

Un pentagone et un pavage pentagonal. Le pentagone est une tuile à cinq côtés ; le pavage est l'assemblage de copies isométriques de cette tuile dans le plan. Un pentagone dessiné seul ne constitue donc pas un pavage.

Un type et un motif particulier. Un type appartient à la classification des possibilités de pavage ; un motif particulier est une réalisation visible. Le pavage du Caire est un motif associé à l'un des quinze types, et non une seizième catégorie.

Le nombre quinze concerne les types de pentagones convexes qui pavent le plan dans le cadre isométrique de cette classification. Il ne signifie pas qu'il n'existe que quinze dessins de pavages : un même type peut donner lieu à des réalisations visuelles différentes.

La présence de pentagones dans un motif ne suffit pas. Si les tuiles pentagonales n'ont pas toutes la même forme et la même taille, le motif sort du cadre décrit par la définition source. Il faut alors préciser quelles tuiles et quelles règles d'assemblage sont utilisées.

La date de 2015 marque la publication du quinzième type ; celle de 2017 marque la preuve d'exhaustivité. Présenter 2015 comme la clôture démontrée de la classification confondrait une dernière découverte avec la preuve qu'aucun autre type n'existe.

La classification invite à étudier les relations entre les longueurs des côtés et les angles d'un pentagone qui rendent un pavage possible. Elle montre aussi la différence entre découvrir un nouvel exemple et prouver qu'une liste est exhaustive. L'histoire allant de 1918 à 2017 réunit précisément ces deux démarches.