pavage du Caire

Imaginez un sol couvert par une seule forme à cinq côtés, répétée sans trou ni chevauchement. Chaque pièce a exactement la même taille et la même forme, mais elle peut être tournée ou retournée. Deux de ses coins sont droits, comme ceux d'une feuille de papier.

Dans le pavage du Caire, quatre coins droits peuvent se rejoindre en un point. Ailleurs, trois pentagones se rencontrent. L'alternance de ces deux assemblages produit le motif associé aux trottoirs du Caire.

Le pavage du Caire est un pavage du plan euclidien par des pentagones irréguliers isométriques, c'est-à-dire superposables par un déplacement, éventuellement accompagné d'un retournement. Le pentagone de base est parcouru dans l'ordre A, B, C, C', B'. Les angles aux sommets B et B' mesurent 90°. Les quatre côtés AB, BC, C'B' et B'A ont la même longueur ; le cinquième côté CC' peut avoir une autre longueur.

Les angles aux sommets C et C' sont égaux. Si l'on note A et C les mesures en degrés des angles correspondants, la somme des angles du pentagone donne $A+2C={360}^{\circ }A+2C=360^\backslash circ$. La valeur de A détermine donc celle de C, et réciproquement ; avec les égalités de côtés, un seul de ces angles fixe la forme. Cette relation décrit une famille de formes, pas un unique pentagone figé.

L'assemblage possède deux types de sommets. Au sommet de degré 4, quatre angles droits totalisent 360°. Au sommet de degré 3, trois pentagones occupent ensemble un tour complet. La forme et l'échelle d'une tuile peuvent varier, mais toutes les tuiles d'un même pavage restent isométriques.

On construit un représentant symétrique de la famille. Données. Les quatre côtés AB, BC, C'B' et B'A mesurent 1 unité. Les angles B et B' sont droits. Les angles A, C et C' mesurent chacun 120°.

1. La somme vaut 120° + 90° + 120° + 120° + 90° = 540°, comme pour tout pentagone.
2. En plaçant A en (0 ; 0), B en (1 ; 0) et C en (1 ; 1), on trace depuis A le rayon qui fait 120° avec AB, puis on place B' à la distance 1 sur ce rayon. Depuis C, on trace le rayon obtenu en faisant tourner la direction de BC de 60° ; depuis B', on trace le rayon qui fait 30° avec l'horizontale. Leur intersection fixe C' en $(1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\sqrt{3};1+\frac{\sqrt{3}-1}{2})(1-\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}-1\}\{2\}\backslash sqrt\{3\};1+\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}-1\}\{2\})$.
3. La longueur du cinquième côté est $C{C}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{3}-1\approx \mathrm{0,732}CC\text{'}=\backslash sqrt\{3\}-1\backslash approx0\{,\}732$ unité.
4. Quatre angles de 90° ou trois angles de 120° totalisent chacun 360°.

La construction rend visibles le pentagone choisi et les deux rencontres possibles. Le contrôle est refaisable : les cinq angles totalisent 540°, tandis que chaque assemblage autour d'un sommet totalise 360°.

Pour reconnaître le motif sur un dallage, on cherche d'abord des pièces pentagonales toutes superposables. On vérifie ensuite la présence de coins droits et l'alternance de points où quatre ou trois pièces se rencontrent.

Pour reproduire une tuile, on choisit la longueur commune des quatre côtés et l'un des angles A ou C. L'autre angle est alors imposé par la relation A + 2C = 360°. Une simple ressemblance visuelle ne suffit pas : les égalités de côtés et d'angles doivent être contrôlées.

Si toutes les pièces sont des pentagones réguliers, il faut choisir un autre modèle : un pentagone régulier ne pave pas seul le plan. Le pavage du Caire exploite précisément une forme irrégulière et ses deux types de sommets.

Avec un pentagone régulier. Dans un pentagone régulier, les cinq côtés et les cinq angles sont égaux. Dans la tuile du Caire, seuls quatre côtés sont imposés égaux et deux angles sont droits. Le cas tranche dès que l'on mesure un angle de 90°.

Avec un pavage pentagonal quelconque. Employer des pentagones ne suffit pas. Pour parler du pavage du Caire, les tuiles doivent être isométriques, respecter les égalités indiquées et former les sommets de degrés 4 et 3. Un assemblage de pentagones de plusieurs formes appartient à une autre construction.

Une image ne prouve pas l'isométrie. La perspective, l'usure ou un dessin approximatif peuvent faire paraître deux tuiles différentes. Il faut comparer les longueurs et les angles, pas seulement leur silhouette.

Le cas à 120° n'est qu'un représentant. Dans l'exemple, A, C et C' valent 120°, mais la définition autorise d'autres formes liées par A + 2C = 360°. Il ne faut donc pas ériger les trois angles de 120° en condition générale.

Le degré compte les tuiles incidentes. Un sommet de degré 4 reçoit exactement quatre pentagones et un sommet de degré 3 en reçoit exactement trois. Compter les segments visibles peut induire en erreur si des joints sont prolongés ou effacés.

Le pentagone régulier fournit un contrepoint utile : l'égalité de ses cinq côtés et de ses cinq angles montre quelles contraintes le pavage du Caire abandonne.