Pick Georg

En 1880, à Prague, Georg Pick soutient une thèse sur des intégrales abéliennes. Ce mathématicien autrichien, né à Vienne en 1859, travaille ensuite sur plusieurs branches des mathématiques.

Son nom reste surtout attaché à une idée très visuelle. Dessinez un polygone dont les sommets tombent sur les croisements d'un quadrillage. Son aire peut se retrouver en comptant les croisements placés à l'intérieur et sur le bord.

Georg Pick (1859–1942) est un mathématicien autrichien né à Vienne. Après des études de mathématiques et de physique à Vienne puis à Prague, il soutient en 1880 une thèse sur les intégrales abéliennes d'une certaine classe. Ses recherches concernent aussi les fonctions d'une variable complexe, les équations différentielles et la géométrie différentielle.

Le résultat qui porte son nom s'applique, dans sa forme usuelle, à un polygone simple dont tous les sommets sont des points d'un réseau entier. On note A son aire, I le nombre de points du réseau strictement intérieurs et B le nombre de points distincts du réseau situés sur son bord. Le théorème donne alors $A=I+\frac{B}{2}-1A=I+\backslash frac\{B\}\{2\}-1$.

Membre de l'Académie des sciences de Prague, Pick en est exclu après l'annexion nazie en raison de ses origines juives. Déporté à Theresienstadt, il y meurt à 82 ans, quinze jours seulement après son internement.

Considérons un rectangle tracé sur un réseau entier. Ses sommets ont pour coordonnées (0, 0), (4, 0), (4, 3) et (0, 3). Les données sont donc une largeur de 4 unités, une hauteur de 3 unités, 6 points du réseau strictement intérieurs et 14 points distincts sur le bord. La figure rend ces deux comptages visibles.

1. Comptez les points intérieurs : les deux rangées de trois points donnent I = 2 × 3 = 6.

2. Comptez les points du bord sans compter deux fois les sommets : B = 5 + 5 + 2 + 2 = 14.

3. Appliquez le théorème : $A=6+\frac{14}{2}-1=12A=6+\backslash frac\{14\}\{2\}-1=12$. L'aire vaut exactement 12 unités carrées.

Le contrôle est indépendant du comptage des points : la formule du rectangle donne 4 × 3 = 12 unités carrées. Les deux calculs coïncident.

Pour calculer l'aire d'un polygone dessiné sur un quadrillage, comptez les points intérieurs et ceux du bord. Le théorème de Pick est adapté si le contour est simple et si chaque sommet appartient au réseau.

Si un sommet ne tombe pas sur un point du réseau, choisissez plutôt une décomposition en figures usuelles ou un calcul par coordonnées. Le critère se voit directement sur le quadrillage.

Pour contrôler un résultat, refaites l'aire par une autre voie lorsque la forme s'y prête. Dans le rectangle 4 × 3, le produit des côtés confirme les 12 unités carrées obtenues par comptage.

Georg Pick et le théorème de Pick. Georg Pick est la personne ; le théorème est le résultat mathématique qui porte son nom. Une date ou un lieu concerne sa biographie, tandis qu'un calcul avec I et B concerne le théorème.

Polygone sur réseau et polygone quelconque. Le premier a tous ses sommets sur des points de coordonnées entières. Si le sommet (1,5 ; 2) apparaît, le polygone n'est pas un polygone de réseau entier et la formule usuelle de Pick ne s'applique pas directement.

Points du bord. Le nombre B compte des points distincts, sommets compris. Dans le rectangle 4 × 3, additionner tous les points de chaque côté donnerait 18 : les quatre sommets seraient comptés deux fois. Il faut donc retirer ces quatre doublons et retenir B = 14.

Contour auto-intersecté. Si deux côtés se croisent, l'intérieur n'est plus celui d'un polygone simple. La formule usuelle ne doit pas être appliquée telle quelle ; il faut d'abord décomposer la figure en régions simples.

Région trouée. La constante −1 vaut pour une région simple sans trou. Avec un nombre h de trous, une extension devient $A=I+\frac{B}{2}-1+hA=I+\backslash frac\{B\}\{2\}-1+h$, sous les mêmes conditions de réseau sur tous les contours.

Figure dégénée. Si tous les sommets sont alignés, la figure a une aire nulle et ne délimite pas l'intérieur requis. Il faut traiter l'objet comme un segment ou une union de segments, pas comme le polygone du théorème usuel.

théorème de Pick : approfondir l'énoncé qui relie aire, points intérieurs et points du bord.

Pick, un théorème inspirant : prolonger la découverte par un article consacré à ce résultat.