Loewner Charles

Imaginez un beignet dont la surface est souple, mais dont la métrique permet de mesurer les longueurs et les aires. Certains chemins fermés font le tour du trou sans pouvoir être resserrés jusqu'à un point. La géométrie systolique s'intéresse au plus court de ces chemins. L'inégalité torique de Loewner relie alors deux observations : la longueur de ce tour minimal et l'aire totale du tore. Elle affirme qu'un tore ne peut pas avoir une aire très petite tout en gardant tous ses tours essentiels très longs.

L'inégalité torique de Loewner est un résultat de géométrie riemannienne portant sur tout tore muni d'une métrique riemannienne. On note sys(T) la longueur du plus court lacet non contractile du tore T, c'est-à-dire d'un chemin fermé qui ne peut pas être déformé continûment en un point. On note aire(T) son aire riemannienne. Dans sa forme usuelle, le résultat s'écrit :

Le carré de la longueur intervient parce que l'aire possède une dimension de longueur au carré. La constante 2/√3 est optimale : elle est atteinte par le tore plat obtenu à partir d'un réseau triangulaire équilatéral. La version strictement générale exige seulement une métrique riemannienne ; elle ne suppose ni tore de révolution ni symétrie particulière.

Considérons le tore plat unité obtenu en identifiant les côtés opposés d'un carré de côté 1. Les deux directions du carré donnent des lacets fermés non contractiles de longueur 1. Dans cette métrique, les données sont les suivantes : aire(T) = 1 et sys(T) = 1.

On calcule d'abord le carré de la systole : sys(T)² = 1² = 1.
On calcule ensuite le membre droit : (2/√3) × aire(T) = 2/√3.
Comme 1 ≤ 2/√3, l'inégalité est vérifiée.
La figure représente le carré fondamental et les deux lacets qui deviennent des cycles du tore après identification des côtés.

Le résultat est donc sys(T)²/aire(T) = 1, tandis que 2/√3 ≈ 1,155. Le contrôle est refaisable en reprenant l'aire du carré et la longueur de ses côtés.

En géométrie systolique, on utilise l'inégalité pour comparer une longueur minimale à une aire sans devoir connaître explicitement tous les géodésiques du tore. Le geste consiste à identifier ou à estimer la plus courte classe de lacets non contractiles, puis à rapporter cette longueur à l'aire de la métrique étudiée.

Pour un tore plat construit par un réseau, le choix d'une base de vecteurs rend les longueurs et l'aire calculables. Une description par le carré unité convient au calcul élémentaire ; une base triangulaire équilatérale est préférable lorsqu'on cherche le cas d'égalité et la constante optimale.

Le tore plat unité sert aussi de repère pour comparer une autre métrique torique : on reprend la longueur du plus court lacet non contractile et l'aire, puis on calcule le quotient sys(T)²/aire(T). On le compare ensuite à 2/√3 ; ce contrôle reprend exactement le calcul de l'exemple et permet de situer la métrique étudiée par rapport à la borne de Loewner.

L'inégalité torique de Loewner ne se confond pas avec l'inégalité isopérimétrique du plan. Le critère qui tranche est la présence d'un tore et de lacets non contractiles : le cercle plan compare un périmètre à une aire, tandis que Loewner compare une systole à l'aire du tore.

Elle ne se confond pas non plus avec l'inégalité de Pu. Pour trancher, on regarde la surface : l'inégalité de Pu concerne le plan projectif réel, alors que le résultat de Loewner concerne le tore.

Le piège dimensionnel consiste à comparer directement sys(T) et aire(T). Une longueur et une aire ne se mesurent pas dans les mêmes unités ; la forme homogène utilise donc sys(T)²/aire(T), ou de manière équivalente sys(T)² ≤ (2/√3) aire(T).

Un tore très allongé peut donner l'impression que tous ses tours sont longs si l'on ne regarde qu'une direction. Le symptôme est un calcul fondé sur le grand cercle apparent. Il faut rechercher toutes les classes de lacets non contractiles et retenir la plus courte.

La constante 2/√3 n'est pas remplacée par 1 dans le cas général. Pour le carré unité, le rapport vaut exactement 1 et l'inégalité est stricte, car 1 < 2/√3. L'égalité demande une géométrie optimale différente, issue d'un réseau triangulaire équilatéral.

Le résultat ouvre sur la géométrie systolique : cette branche étudie les liens entre des longueurs de cycles essentiels et des volumes ou des aires. Le cas du tore montre déjà comment la topologie, qui distingue les lacets contractiles des autres, contraint la géométrie mesurée.