paradoxe du carré manquant

Découpez une figure en quelques pièces, puis déplacez-les sans les déformer. Après réassemblage, un petit carré vide semble apparaître alors que toutes les pièces sont encore là.

Aucune aire ne s'est volatilisée. Le grand contour que l'œil prend pour un triangle possède en réalité un côté très légèrement cassé. Selon l'ordre des pièces, cette cassure creuse ou gonfle le contour ; le mince écart accumulé fournit exactement l'aire du carré manquant.

Le paradoxe du carré manquant est une illusion de conservation d'aire. Les mêmes pièces gardent chacune la même aire lorsqu'elles sont déplacées, mais les deux assemblages n'occupent pas exactement le même contour. Le segment présenté comme l'hypoténuse du grand triangle est composé de deux segments dont les pentes diffèrent légèrement.

Dans l'exemple conducteur, un petit triangle rectangle avance de 5 unités et monte de 2 unités : sa pente vaut 2/5 = 0,4. L'autre avance de 8 unités et monte de 3 unités : sa pente vaut 3/8 = 0,375. Ces valeurs inégales prouvent que leurs hypoténuses ne sont pas alignées. Le contour total mesure pourtant 13 unités horizontalement et 5 verticalement, ce qui rend la cassure difficile à voir.

Le carré de Curry, le rectangle de Curry et le triangle de Curry ont été présentés en 1953 par Paul Curry, magicien amateur. La même famille comprend le rectangle de Hooper, publié en 1794 par William Hooper, et le rectangle de Langman.

Si deux morceaux doivent former un même côté droit, alors leurs segments correspondants doivent avoir la même pente. Pour des déplacements horizontaux et verticaux respectifs de 5 et 2 unités, puis de 8 et 3 unités, le critère s'écrit :

Or 2 × 8 = 16 tandis que 3 × 5 = 15. L'égalité est fausse : le côté est une ligne brisée, et l'aire comprise entre cette ligne et la vraie diagonale explique l'apparente création ou disparition de surface.

L'analyse s'applique lorsque les pièces sont conservées sans déformation et que deux réassemblages sont annoncés comme ayant le même contour extérieur. Il faut pouvoir comparer les directions des segments qui composent le côté presque rectiligne, par leurs pentes ou par une vérification de proportionnalité avec le théorème de Thalès.

Trois contrôles sont décisifs : les pièces doivent être identiques dans les deux montages, leurs recouvrements doivent être exclus, et les pentes successives doivent être égales pour conclure à un véritable alignement. Si les rapports sont égaux, cette cassure précise n'explique aucun trou ; il faut alors rechercher une pièce déformée, un chevauchement ou un autre changement du contour.

Deux triangles rectangles sont placés bout à bout. Le premier a pour côtés perpendiculaires 5 et 2 unités ; le second, 8 et 3 unités. Le contour apparent avance donc de 13 unités et monte de 5 unités.

1. Calculez les pentes : 2/5 = 0,4 et 3/8 = 0,375.
2. Comparez-les : 0,4 ≠ 0,375, donc le côté commun n'est pas droit.
3. Mesurez le défaut par le produit croisé : 5 × 3 − 2 × 8 = −1.
4. L'aire du mince triangle entre la ligne brisée et la diagonale vaut |−1|/2 = 0,5 unité carrée.
5. Quand l'ordre des deux triangles est inversé, la cassure passe de l'autre côté de la diagonale : l'écart total entre les deux montages vaut 0,5 + 0,5 = 1 unité carrée.

Le contrôle est refaisable sans se fier au dessin : l'inégalité 2 × 8 ≠ 3 × 5 suffit à réfuter l'alignement, et le calcul d'aire retrouve exactement le carré d'une unité de côté qui semble manquer.

Devant un puzzle où une case apparaît après déplacement des pièces, commencez par superposer mentalement les contours extérieurs. Ce contrôle est plus sûr qu'un simple inventaire des pièces, car la différence peut être répartie le long d'un bord presque droit.

Sur un quadrillage, comptez les déplacements horizontal et vertical de chaque segment du bord, puis comparez leurs rapports. Préférez le produit croisé aux décimales lorsque les mesures sont entières : il révèle ici immédiatement l'écart entre 16 et 15.

Si le dessin imprimé est trop petit pour montrer la cassure, le calcul des pentes remplace la mesure à la règle. Une égalité des rapports justifierait l'alignement ; leur inégalité impose de traiter le contour comme une ligne brisée.

Une illusion géométrique trompe la lecture d'une forme ; elle ne contredit pas la conservation de l'aire. Dans le carré manquant, le test décisif est numérique : les pentes 2/5 et 3/8 sont différentes.

Un vrai paradoxe logique met en tension des propositions ou des règles de raisonnement. Ici, aucune contradiction ne subsiste après examen : les deux contours que l'on croyait identiques ne le sont pas.

Une déformation des pièces modifierait directement leur aire ou leur forme. Dans les variantes de Curry ou de Hooper, le mécanisme décrit repose au contraire sur le défaut d'alignement du contour reconstitué.

Le mot « triangle » peut être trompeur : avec les pentes 2/5 et 3/8, le grand côté est légèrement concave dans un ordre et légèrement convexe dans l'autre. Il ne faut donc pas appliquer directement la formule base × hauteur / 2 à ce contour comme s'il s'agissait d'un triangle exact.

Le seuil charnière est l'égalité des produits croisés. Si 2 × 8 avait été égal à 3 × 5, les deux segments auraient eu la même pente et le défaut d'une demi-unité carrée aurait disparu. Ici, 16 − 15 = 1 fournit précisément ce défaut.

Une photographie ou une reproduction imprécise peut ajouter ses propres écarts. Pour attribuer le trou au paradoxe, il faut travailler avec les dimensions annoncées et vérifier les pentes ; une mesure graphique seule ne distingue pas toujours la construction exacte d'une erreur d'impression.

Le théorème de Thalès donne le cadre de proportionnalité qui permet de tester rigoureusement l'alignement des segments du faux triangle.

Les unités de mesure d'aire aident à interpréter l'écart calculé : une unité carrée correspond ici au carré qui apparaît dans le réassemblage.