puzzle de Lewis Carroll
Le puzzle de Lewis Carroll, ou paradoxe du carré, est une dissection trompeuse : des pièces d'aire totale 64 semblent remplir, après réarrangement, un contour d'aire 65. En réalité, leurs bords ont des pentes différentes et ne s'ajustent pas exactement : une jonction faussement rectiligne dissimule un interstice d'aire 1. L'illusion ne crée donc aucune aire ; elle vient d'un contour qui n'est pas celui qu'il paraît être.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Recalculer les aires 64 et 65 sans confondre rectangle et triangle.
- Identifier le défaut d'alignement qui forme un interstice d'aire 1.
- Relier l'écart minimal à l'identité de Cassini pour les nombres de Fibonacci.
En clair
Un carré quadrillé de 8 cases sur 8 en contient 64. Après découpage, les mêmes pièces semblent pourtant remplir un rectangle de 13 cases sur 5, qui en contient 65. Aucun morceau n'a grandi : le faux gain se cache le long d'une jonction presque droite.
Les bords des pièces n'ont pas exactement la même pente. Leur très léger désalignement forme un interstice étroit dont l'aire totale vaut 1. L'œil voit une ligne droite là où il existe en réalité une cassure.
Définition
Le puzzle de Lewis Carroll, ou paradoxe du carré, est une dissection paradoxale : les pièces d'une figure sont réassemblées dans un contour qui paraît complet, mais un défaut d'ajustement rend trompeuse la comparaison des aires. Dans la présentation 64–65, le départ est un carré de côté 8, donc d'aire 8 × 8 = 64. Le contour d'arrivée compatible avec une aire de 65 est un rectangle de côtés 13 et 5, car 13 × 5 = 65.
Le prétendu pavage du rectangle échoue parce que les pièces ne le couvrent pas exactement. Deux segments pris pour une même droite ont des pentes différentes. Un raisonnement de proportionnalité, tel que le théorème de Thalès, met ce désaccord en évidence. Le mince interstice réparti le long de la jonction a une aire totale de 1, ce qui rétablit 65 − 1 = 64.
Les dimensions 5, 8 et 13 sont trois nombres de Fibonacci consécutifs. Avec la convention F0 = 0 et F1 = 1, pour les nombres de Fibonacci notés Fn−1, Fn et Fn+1, l'identité de Cassini s'écrit . La valeur absolue de l'écart est donc 1. Avec des termes plus grands, ce défaut occupe une proportion plus faible de la figure et devient plus difficile à percevoir.
Un exemple, pas à pas
On compare un carré de côté 8 au contour rectangulaire obtenu avec les mêmes pièces. Les données sont : 8 cases par côté au départ ; 13 cases de longueur et 5 de largeur à l'arrivée ; aucune pièce ajoutée ni retirée.
1. Calculons l'aire du carré : 8 × 8 = 64 cases carrées.
2. Calculons l'aire du contour rectangulaire : 13 × 5 = 65 cases carrées. La figure juxtapose ces deux comptages et matérialise le défaut d'ajustement.
3. Comme un découpage ne change pas l'aire totale des pièces, celles-ci ne peuvent couvrir que 64 des 65 cases carrées du rectangle. La surface non couverte vaut donc 65 − 64 = 1 case carrée.
4. Contrôlons la formulation : un triangle rectangle de cathètes 13 et 5 aurait pour aire (13 × 5) / 2 = 32,5 cases carrées, et non 65. Le résultat 65 suppose bien un rectangle 13 × 5. Le paradoxe disparaît dès que le contour et l'interstice sont correctement identifiés.
En pratique
Devant une dissection qui semble créer ou supprimer de l'aire, on compare d'abord l'aire exacte des pièces avec celle du contour annoncé. Une différence prouve qu'il existe un vide, un chevauchement ou un contour qui n'est pas celui que l'on croit.
Dans le découpage 5–8–13, le bord oblique du triangle de base 5 et de hauteur 2 a pour rapport vertical/horizontal 2/5 = 0,4 ; celui du triangle de base 8 et de hauteur 3 a pour rapport 3/8 = 0,375. Comme 2/5 ≠ 3/8, ces deux bords ne peuvent pas former une même droite : la jonction est brisée, même si la cassure est minuscule.
Sur un quadrillage, un comptage direct convient aux cellules entièrement couvertes. Pour une fente oblique très mince, il faut plutôt calculer l'aire du contour puis soustraire l'aire totale, inchangée, des pièces.
À ne pas confondre
Avec un paradoxe logique. Un paradoxe logique met en tension des propositions ou leurs règles d'inférence. Ici, les règles de l'aire restent cohérentes : une mesure du vide suffit à lever l'apparente contradiction.
Avec une illusion d'optique sans calcul. L'impression visuelle joue un rôle, mais le défaut est géométrique et mesurable. Les pentes différentes et l'écart d'aire égal à 1 fournissent un test objectif.
Avec le théorème de Thalès. Le théorème est un outil de proportionnalité utilisé pour tester l'alignement ; il n'est pas le puzzle lui-même. Si les rapports requis coïncidaient, la cassure invoquée ici n'existerait pas.
Limites et pièges
Contour mal nommé. Le calcul 13 × 5 = 65 est celui d'un rectangle. Pour un triangle rectangle de cathètes 13 et 5, il faut diviser par deux et l'on obtient 32,5. Ce contrôle élémentaire évite d'attribuer l'écart à la mauvaise figure.
Fente invisible mais non nulle. Une jonction presque rectiligne n'est pas nécessairement une droite. Le symptôme est une différence entre les rapports qui décrivent les pentes ; il faut comparer ces rapports plutôt que prolonger les segments à l'œil.
Aire localisée à tort. L'unité manquante n'a pas besoin de prendre la forme d'une case carrée isolée. Elle peut être répartie dans une bande oblique très mince ; seule son aire totale vaut 1.
Généralisation aux nombres de Fibonacci. L'identité de Cassini garantit un écart algébrique de valeur absolue 1 pour trois termes consécutifs. Elle ne rend pas n'importe quel découpage valide : la disposition des pièces et les pentes doivent encore être vérifiées.
Pour aller plus loin
Le théorème de Thalès fournit le test de proportionnalité qui permet de décider si les bords des pièces suivent réellement une même droite.
Les diagrammes chez Lewis Carroll prolongent la découverte de son usage des représentations visuelles dans un autre domaine mathématique.
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