planimètre

Imaginez une tache dessinée sur une carte. Sa largeur et sa hauteur ne suffisent pas à donner son aire, car son bord est irrégulier. Avec un planimètre, on guide une pointe tout autour de ce bord jusqu'au point de départ.

Les mouvements de l'instrument sont transmis à un mécanisme analogique. Après conversion de la lecture selon l'échelle de l'appareil, on obtient l'aire enfermée par le trajet. Le contour sert donc de chemin de mesure : le résultat concerne la surface intérieure, pas la longueur du bord.

Un planimètre est un intégrateur mécanique analogique qui mesure l'aire délimitée par un contour plan. L'opérateur fait suivre ce contour à la pointe de l'instrument et revient au point initial. Le déplacement entraîne les pièces mécaniques ; leur lecture cumulée représente l'intégration effectuée le long du trajet. Cette procédure évite de découper manuellement une forme irrégulière en rectangles, triangles ou autres éléments simples.

Pour exploiter une lecture, il faut connaître le coefficient associé à l'appareil et à l'échelle du document. Dans le protocole calibré de l'exemple, le coefficient d'aire est noté k et l'écart entre les lectures finale et initiale est noté Δr. L'aire A se calcule alors par $A=k\mathrm{\Delta }rA=k\backslash ,\backslash Delta\; r$. Dans ce protocole, pour le modèle ainsi calibré et sans passage par le zéro du compteur, aucune correction supplémentaire propre à l'appareil n'est requise. Les unités de k déterminent celles de A.

Johann Martin Hermann a construit le premier planimètre en 1814. Jakob Amsler a perfectionné l'instrument en 1854. Les calculateurs numériques ont ensuite rendu ce mode de calcul beaucoup moins courant, sans changer son intérêt historique parmi les intégrateurs mécaniques.

Une carte comporte un contour irrégulier dont on veut mesurer l'aire. Le planimètre est d'abord contrôlé avec un rectangle de référence de 5 cm sur 4 cm, donc de 20 cm². Le parcours de ce rectangle produit un écart de 10 divisions. Le parcours du contour irrégulier produit ensuite un écart de 18,5 divisions.

1. Le coefficient d'aire vaut 20 ÷ 10 = 2 cm² par division.
2. La pointe revient au repère de départ après avoir suivi une fois tout le contour irrégulier.
3. L'aire mesurée vaut 2 × 18,5 = 37 cm².
4. Un second parcours en sens inverse donne 18,4 divisions, soit 36,8 cm².

Le résultat du premier parcours est donc 37 cm². Le contrôle est refaisable : les deux mesures diffèrent de 0,2 cm², soit une division d'écart de 0,1 multipliée par le coefficient 2. Cet accord renseigne sur la répétabilité du geste ; il ne transforme pas une mesure instrumentale en valeur mathématique exacte.

Sur une carte imprimée, le planimètre convient à une parcelle ou à une zone dont le contour est irrégulier. On vérifie d'abord l'échelle, puis on suit le bord fermé. Pour une figure polygonale aux dimensions connues, un calcul géométrique direct est préférable.

Pour contrôler le geste, on mesure une surface de référence connue, puis on répète le parcours de la forme étudiée. Des lectures proches indiquent une mesure reproductible à la précision de l'instrument. Si les résultats s'écartent nettement, il faut recommencer en suivant le contour plus régulièrement.

Lorsque le contour existe déjà sous forme numérique, un calculateur traite directement les coordonnées ou les pixels. Le planimètre garde surtout un intérêt pour un document physique et pour comprendre comment un mécanisme peut effectuer une intégration.

Mesure d'aire et mesure du périmètre. Dans les deux cas, on peut suivre un contour. Le critère qui tranche est la grandeur affichée : le planimètre donne une unité carrée, par exemple le cm², et non une longueur en centimètres.

Planimètre et quadrillage. Le quadrillage estime une aire en comptant ou en fractionnant des cases ; le planimètre intègre mécaniquement le déplacement le long du bord. Une frontière très découpée impose de nombreuses estimations avec un quadrillage, tandis que le planimètre conserve le même geste de suivi.

Contour non fermé. Si la pointe ne revient pas au point de départ, le trajet ne délimite pas la surface attendue. Le symptôme est un écart visible entre les deux extrémités du parcours ; il faut fermer le contour avant la mesure.

Coefficient ou échelle incorrects. Une lecture de 18,5 divisions ne vaut pas à elle seule 18,5 cm². Avec le coefficient de l'exemple, 2 cm² par division, elle correspond à 37 cm². Il faut donc établir la conversion adaptée avant d'annoncer l'aire.

Précision du tracé. Une pointe qui coupe les creux du contour ou s'en éloigne modifie la mesure. Deux passages donnent ici 37 cm² et 36,8 cm² : on examine cet écart au regard de la précision de l'appareil au lieu d'exiger une égalité exacte.

Usage actuel. Le planimètre ne doit pas être présenté comme la voie habituelle pour un contour déjà numérisé. Les calculateurs numériques ont progressivement remplacé cet instrument analogique ; on choisit alors le calcul sur données numériques.

Unités de mesure d'aire explique les unités carrées nécessaires pour exprimer et convertir le résultat donné par un planimètre.

Aire et barycentre prolonge la mesure d'une surface par une relation entre aire et position de son centre de masse.