intégraphe

Sur une feuille, un stylet suit une courbe dessinée. Un intégraphe accompagne ce geste par un second tracé : au lieu de recopier la courbe, il construit une courbe dont la pente dépend de la hauteur de la première. Une courbe située au-dessus de l'axe donne ainsi une pente positive à la primitive ; une courbe située au-dessous lui donne une pente négative. Le résultat est une primitive, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée redonne la courbe suivie. Ce calcul mécanique était utile avant les calculateurs électroniques.

Un intégraphe est un intégrateur mécanique : il transforme le tracé d'une fonction en celui d'une primitive. Si la courbe suivie représente une fonction f, la courbe produite représente une fonction F telle que $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)=f(x)$ sur l'intervalle où le mécanisme fonctionne. Le choix de la constante d'intégration fixe seulement la position verticale initiale de F ; il ne change pas sa pente. La relation essentielle est donc locale : en chaque point, la pente de la courbe produite est proportionnelle à l'ordonnée de la courbe d'entrée, avec un facteur fixé par l'échelle et le réglage de l'instrument.

L'utilisateur doit disposer d'une courbe de fonction et faire suivre cette courbe par le stylet d'entrée. Le mécanisme trace simultanément la primitive correspondante. L'intégraphe ne calcule pas directement l'aire d'une région fermée : cette tâche relève du planimètre. Les intégraphes appartiennent à l'histoire du calcul analogique ; le premier modèle fonctionnel mentionné dans la source a été conçu en 1878 par Bruno Abdank-Abakanowicz. Leur usage a ensuite été rendu obsolète par les calculateurs électroniques.

Pour visualiser le fonctionnement, considérons une entrée rectiligne dont l'ordonnée vaut f(x)=x entre x=0 et x=2, dans une unité de hauteur. Le réglage est choisi pour que la pente tracée soit exactement cette ordonnée. Les données sont : intervalle [0,2], valeur initiale F(0)=0 et entrée f(x)=x. La primitive attendue est F(x)=x²/2.

À x=0, l'entrée vaut 0, donc la pente de la courbe produite vaut 0.
À x=1, l'entrée vaut 1, donc la pente vaut 1.
À x=2, l'entrée vaut 2, donc la pente vaut 2.
L'aire sous la droite d'entrée entre 0 et 2 est celle d'un triangle de base 2 et de hauteur 2 : (2 × 2) / 2 = 2. La courbe produite atteint donc F(2)=2, car F(0)=0.

Le contrôle est direct : la dérivée de F(x)=x²/2 est F'(x)=x, qui redonne l'entrée. Le résultat est cohérent avec les trois pentes observées et avec l'aire accumulée, sans confondre cette vérification avec le fonctionnement général du planimètre.

En génie, l'utilisateur pouvait faire suivre au stylet une courbe issue d'une mesure ou d'un modèle, puis lire le tracé de la primitive pour obtenir une grandeur cumulée. Le geste important consistait à maintenir le stylet sur la courbe d'entrée pendant que le mécanisme dessinait la sortie.

En physique et en astronomie, le même principe permettait de passer graphiquement d'une fonction à une primitive. Lorsque la fonction était disponible sous forme de courbe, l'intégraphe offrait une opération analogique sans calculateur électronique. Pour une valeur numérique très précise ou une fonction déjà connue par sa formule, le calcul électronique constitue aujourd'hui l'alternative observable ; l'intégraphe conserve alors surtout un intérêt historique et pédagogique.

Un intégraphe et un planimètre sont deux intégrateurs mécaniques, mais ils ne produisent pas la même information. Le critère testable est le mouvement de sortie : si l'appareil mesure l'aire d'une région fermée parcourue par un pointeur, il s'agit d'un planimètre ; si le mécanisme trace une courbe dont la pente suit l'ordonnée de la courbe d'entrée, il s'agit d'un intégraphe. Une boucle fermée à mesurer tranche le premier cas, tandis qu'une primitive à construire tranche le second.

La pente produite n'est pas une valeur absolue indépendante de l'appareil : elle est proportionnelle à l'ordonnée de l'entrée, selon l'échelle et le réglage du mécanisme. Une lecture graphique ne doit donc pas être interprétée comme une primitive dans les unités convenues sans vérifier ces paramètres. Il faut contrôler l'origine verticale choisie, l'échelle des axes et le facteur de proportionnalité.

Une courbe d'entrée sous l'axe horizontal donne une pente négative à la courbe produite ; celle-ci peut alors descendre même si l'utilisateur avance vers la droite. Une courbe d'entrée qui change de signe produit une primitive qui monte puis descend, ou l'inverse. Dans chaque cas, le bon réflexe consiste à examiner le signe de l'ordonnée et à vérifier le résultat par dérivation, plutôt qu'à conclure d'après la seule forme générale du tracé.

Enfin, l'intégraphe construit une primitive sur le domaine effectivement parcouru par le stylet. Il ne fournit pas automatiquement une primitive unique : deux courbes qui ne diffèrent que par une translation verticale ont la même dérivée. La constante d'intégration doit être fixée par la position initiale choisie.

Pour prolonger cette notion, on peut relier le geste de l'intégraphe à l'idée générale d'intégration : une aire accumulée devient une variation de la primitive, tandis que la pente locale restitue la fonction de départ. Cette lecture fait le lien entre une courbe matérielle, le calcul analogique et la relation entre dérivation et intégration, sans supposer qu'un instrument réel atteint une exactitude parfaite.