Convergence factorielle

Prenons les nombres 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120 puis 1/720. Chaque nouveau dénominateur multiplie le précédent par l'entier suivant. Les termes deviennent donc minuscules bien plus vite qu'en divisant toujours par un même nombre.

Cette chute illustre la convergence factorielle. En multipliant le terme de rang n par la factorielle n!, on obtient ici toujours 1 : le produit ne s'échappe jamais vers l'infini.

La convergence factorielle concerne une suite numérique dont les termes tendent vers zéro. Pour une suite de termes notés a_n, où n est un entier naturel, le critère demande que les nombres n! |a_n| restent bornés. Autrement dit, il existe une constante positive C et un rang N tels que, pour tout entier n au moins égal à N, la formule suivante soit vérifiée.

La factorielle n! est le produit des entiers de 1 à n. Comme ce produit croît plus vite que toute puissance géométrique de raison fixe, le majorant C/n! impose une décroissance plus rapide que toute convergence géométrique. Cette vitesse intervient notamment dans certains développements en série entière, dans l'étude des fonctions entières d'ordre zéro et dans la hiérarchie des vitesses utilisée en analyse numérique.

Considérons la suite dont le terme de rang n, pour tout entier n au moins égal à 1, est a_n = 1/n!. Les six premiers rangs sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

1. Calculez les factorielles : 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 et 6! = 720.
2. Les termes correspondants sont 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120 et 1/720.
3. Multipliez chaque valeur absolue par la factorielle de son rang.
4. Chaque produit vaut exactement 1.

La suite des produits n! |a_n| est donc constante, et en particulier bornée par 1. Le critère de convergence factorielle est satisfait. Le contrôle se refait à n'importe quel rang : en remplaçant a_n par 1/n!, les deux factorielles se simplifient et donnent 1.

En analyse numérique, on peut comparer l'erreur d'une approximation au majorant C/n!. Si les produits n! fois l'erreur restent bornés, la convergence factorielle décrit mieux la chute observée qu'un simple majorant géométrique.

Dans certains développements en série entière, le même test s'applique à une suite de coefficients ou de restes. On calcule le produit par n! ; un produit non borné oblige à chercher une autre échelle de vitesse.

Dans l'étude des fonctions entières d'ordre zéro, une décroissance factorielle peut apparaître parmi les comportements examinés. Le critère reste quantitatif : il faut établir une borne uniforme, et non se fier seulement à quelques premiers termes très petits.

Convergence géométrique. Elle se contrôle par une puissance qⁿ, avec une raison fixe q comprise entre 0 et 1. Pour a_n = 1/n!, le quotient a_n+1/a_n vaut 1/(n + 1) et tend vers zéro : aucune raison fixe ne décrit cette accélération.

Analyse factorielle. Ce nom désigne des méthodes statistiques et non une vitesse de convergence. Le test décisif est ici la présence d'une suite indexée par n et l'étude du produit n! |a_n|.

Une décroissance plus rapide que toute géométrique ne suffit pas. La suite b_n = 1/√(n!) possède cette propriété, mais n! b_n = √(n!) n'est pas borné. Elle échoue donc au critère strict donné ici.

Les premiers termes ne décident pas. Modifier un nombre fini de termes ne change pas l'existence d'une borne à partir d'un certain rang. Il faut examiner la suite des produits lorsque n grandit, et non conclure à partir des six valeurs de l'exemple.

Le mot peut couvrir une échelle plus large selon la convention. Un majorant de la forme C/(n!)^α, avec α positif, exprime une décroissance de type factoriel. Dans cette fiche, l'exposant retenu pour le critère est α = 1. Toute borne de ce type avec α ≥ 1 implique que n! |a_n| est borné. En revanche, une borne avec α strictement compris entre 0 et 1 ne suffit pas en général, et le critère n'impose pas une borne avec α supérieur à 1.

La fiche Convergence géométrique donne le point de comparaison naturel : une décroissance gouvernée par une raison fixe.

La fiche série entière précise le cadre dans lequel des coefficients à décroissance très rapide peuvent intervenir.

L'article La genèse des expansions de fonctions replace les développements de fonctions dans une perspective plus large.