Convergence lente

Imaginez une suite de nombres qui se rapproche de 0. Avec 1/n, le premier terme vaut 1, puis les suivants diminuent, mais chaque gain devient moins spectaculaire. Après 10 étapes, on est à 0,1 ; après 100 étapes, seulement à 0,01. Une suite géométrique comme (1/2)ⁿ perd, elle, la moitié de sa valeur à chaque étape. La convergence lente décrit ce rapprochement réel, mais moins rapide, qui peut rendre les calculs numériques longs avant d'obtenir une précision satisfaisante.

Une suite (u_n) converge vers une limite L lorsque ses termes se rapprochent de L quand l'indice n augmente sans borne. Pour une référence géométrique qⁿ donnée, avec 0 < q < 1, on peut parler de convergence lente lorsque l'erreur e_n = |u_n − L| vérifie e_n/qⁿ → +∞ ; c'est le cas de e_n = 1/n. À l'inverse, une borne e_n ≤ Cqⁿ, avec C > 0, caractérise une décroissance au moins géométrique, sans impliquer que le rapport entre deux erreurs successives soit exactement constant ni que l'erreur soit réduite d'un facteur fixe à chaque étape.

Les exemples u_n = 1/n et u_n = 1/√n tendent vers 0, mais leurs erreurs diminuent selon une puissance inverse de n. Elles deviennent donc petites, sans être divisées par un facteur fixe à chaque itération. Le mot « lente » compare ainsi des vitesses d'approche ; il ne signifie pas que la suite cesse de converger. La comparaison doit préciser la limite et la mesure de l'erreur, car toutes les convergences non géométriques ne forment pas une seule classe de vitesse.

Prenons u_n = 1/n, dont la limite est L = 0. À n = 10, l'erreur vaut exactement |u₁₀ − L| = 0,1 ; à n = 100, elle vaut exactement 0,01. Pour gagner un facteur 10 de précision, il faut donc multiplier n par 10. À titre de comparaison, la suite v_n = (1/2)ⁿ vaut exactement 1/1 024 à n = 10, soit environ 0,00098.

La transformation d'Aitken utilise trois termes successifs pour estimer une limite plus efficacement. En notant Δu_n = u_n+1 − u_n et Δ²u_n = u_n+2 − 2u_n+1 + u_n, elle forme, lorsque Δ²u_n n'est pas nul, $u_n-\frac{(\mathrm{\Delta }{u}_n{)}^2}{{\mathrm{\Delta }}^2{u}_n}u\_n-\backslash frac\{(\backslash Delta\; u\_n)^2\}\{\backslash Delta^2u\_n\}$. Pour n = 10, les trois termes sont u₁₀ = 1/10, u₁₁ = 1/11 et u₁₂ = 1/12 ; ainsi Δu₁₀ = −1/110 et Δ²u₁₀ = 1/660. La substitution donne alors 1/10 − (1/110)²/(1/660) = 1/22, soit environ 0,0455 : cette valeur est plus proche de 0 que u₁₀ = 0,1, sans transformer la méthode en garantie universelle.

Dans un calcul numérique, une convergence lente se repère lorsque les dernières itérations changent encore sensiblement le résultat malgré une tendance régulière vers la limite. Il faut alors fixer une tolérance, c'est-à-dire une erreur maximale acceptable, et compter les itérations nécessaires pour l'atteindre. Pour u_n = 1/n, obtenir une erreur au plus égale à 0,001 exige n ≥ 1 000. Une méthode d'accélération peut réduire ce coût, à condition de respecter ses hypothèses et de vérifier le résultat.

Une convergence lente n'est pas une divergence. Une suite divergente ne possède pas la limite recherchée, alors que 1/n converge bien vers 0. Elle ne se confond pas non plus avec une convergence géométrique : cette dernière est un modèle de décroissance de l'erreur, tandis que la première expression décrit une vitesse comparativement faible. Enfin, lenteur et monotonie sont différentes : une suite peut converger lentement en oscillant autour de sa limite, si ses oscillations s'amortissent.

La formule « plus lente que la convergence géométrique » est une comparaison, pas une définition complète valable sans contexte. Il faut préciser la limite, l'erreur observée et la suite de comparaison. Une suite peut avoir des phases de progression rapide puis lente, ou des termes qui oscillent ; regarder seulement quelques valeurs peut donner un diagnostic trompeur.

Les méthodes d'accélération ont aussi un domaine de validité. La transformation d'Aitken exige notamment que le dénominateur Δ²u_n soit non nul et peut amplifier des erreurs d'arrondi. La méthode de Romberg concerne l'accélération de l'intégration numérique à partir d'approximations structurées ; elle n'est pas une recette universelle pour toute suite lente. Une précision affichée ne vaut donc que si les hypothèses, l'arithmétique et le critère d'arrêt sont contrôlés.

Pour comparer finement deux convergences, on peut étudier le rapport entre leurs erreurs successives ou rechercher un ordre de décroissance. Une erreur de type 1/nᵖ, avec p > 0, devient plus petite quand n augmente, mais son ordre dépend de p ; une erreur géométrique qⁿ, avec 0 < q < 1, finit par décroître plus vite que toute puissance inverse de n. Cette hiérarchie explique pourquoi l'analyse du taux asymptotique complète l'observation de quelques itérations.