Steffensen Johann Frederik

Le Danois Johan Frederik Steffensen (1873–1961) a donné son nom à une façon d'accélérer une suite qui avance trop lentement vers sa limite. Imaginons des valeurs 4, puis 2, puis 4/3, qui se rapprochent de 1 sans l'atteindre tout de suite. La méthode observe ces trois valeurs successives et corrige leur progression. Dans cet exemple, elle trouve directement 1.

Johan Frederik Steffensen est un mathématicien et statisticien danois né en 1873 et mort en 1961. Son nom reste attaché à une méthode itérative qui accélère la convergence d'une suite. Dans sa forme de point fixe, on part d'une valeur x et d'une fonction g ; la suite ordinaire remplacerait x par g(x).

On note p la première valeur g(x), puis q la seconde valeur g(p). La transformation de Steffensen propose la valeur suivante $S(x)=x-\frac{(p-x{)}^2}{q-2p+x}S(x)=x-\backslash frac\{(p-x)^2\}\{q-2p+x\}$. Elle exige que le dénominateur q − 2p + x ne soit pas nul. Son but est d'estimer et de retrancher l'erreur encore visible dans les trois valeurs x, p et q.

La méthode est analogue à l'accélération Δ² d'Aitken : la même combinaison de trois termes intervient. La variante de Steffensen réinjecte toutefois la valeur corrigée dans le calcul itératif. Elle ne garantit pas à elle seule une convergence : il faut que les valeurs demandées existent, que le dénominateur reste non nul et que l'itération choisie se comporte convenablement près du point cherché.

Cherchons le point fixe 1 de la fonction qui associe à tout nombre x la valeur g(x) = (x + 2)/3. Les données sont la valeur initiale x = 4, la fonction g et le point fixe à contrôler. Une itération ordinaire donne successivement 4, 2, 4/3, 10/9 : elle se rapproche de 1.

1. Calculons la première valeur : p = g(4) = (4 + 2)/3 = 2.

2. Calculons la seconde : q = g(2) = (2 + 2)/3 = 4/3.

3. Le numérateur vaut (p − x)² = (2 − 4)² = 4. Le dénominateur vaut q − 2p + x = 4/3 − 4 + 4 = 4/3 ; il n'est pas nul.

4. La correction donne $S(4)=4-\frac{4}{4\mathrm{/}3}=1S(4)=4-\backslash frac\{4\}\{4/3\}=1$. Une seule étape accélérée atteint ici exactement le point fixe.

Le contrôle est direct : g(1) = (1 + 2)/3 = 1. La valeur obtenue est donc bien fixe. Ce résultat exact tient au choix affine de g ; il illustre le mécanisme sans promettre qu'une seule étape suffira dans tous les cas.

Lorsqu'une itération de point fixe converge mais progresse lentement, la méthode de Steffensen combine trois valeurs successives. Dans l'exemple, la suite ordinaire passe par 4, 2 et 4/3, tandis que la correction atteint 1.

Avant d'accepter la valeur accélérée, on calcule le dénominateur q − 2p + x. S'il est nul, la formule ne s'applique pas ; s'il est très petit, la division peut amplifier les erreurs d'arrondi. On conserve alors l'itération initiale ou une autre méthode justifiée par le problème.

Le geste final reste un contrôle dans l'équation de point fixe. Ici, remplacer x par 1 dans g(x) = (x + 2)/3 redonne 1. Pour un calcul approché, on vérifie plutôt que l'écart entre g(x) et x est compatible avec la précision recherchée.

Méthode de Steffensen et méthode d'Aitken. Toutes deux utilisent la même correction Δ² sur trois valeurs. Aitken transforme les termes d'une suite donnée ; Steffensen réinjecte la valeur transformée pour construire l'étape suivante. Si le calcul s'arrête après l'accélération d'une suite déjà produite, on parle d'Aitken ; si la correction pilote l'itération, il s'agit de la variante de Steffensen.

Dénominateur nul. Si q − 2p + x = 0, la correction demanderait une division par zéro. Le symptôme est visible avant l'étape : il faut renoncer à cette correction et ne pas inventer de valeur accélérée.

Dénominateur presque nul. Même sans être exactement nul, un dénominateur très petit produit une correction très grande et sensible aux arrondis. Il faut comparer sa taille à la précision du calcul et revenir à l'itération de base si le quotient devient instable.

Succès de l'exemple. Le passage exact de 4 à 1 en une correction vient de la fonction affine g(x) = (x + 2)/3. Ce cas charnière illustre la formule, mais ne prouve pas qu'une fonction quelconque sera résolue en une étape. Il faut toujours contrôler la valeur obtenue et observer les itérations suivantes.

La méthode d'Aitken précise l'accélération Δ² dont la méthode de Steffensen constitue une variante itérative.

La convergence d'une suite numérique fournit le cadre pour distinguer limite, vitesse de rapprochement et simple stabilisation apparente.