méthode d'Aitken

Une suite affiche successivement 6, puis 4, puis 3. Elle semble se rapprocher de 2 : l'écart à 2 passe de 4 à 2, puis de 2 à 1. Continuer ainsi donnerait 2,5, puis 2,25, sans jamais atteindre 2 en un nombre fini d'étapes.

La méthode d'Aitken utilise les trois valeurs déjà connues pour prolonger la tendance comme si les écarts diminuaient toujours dans le même rapport. Dans cet exemple idéal, elle saute directement de 6, 4 et 3 à la limite 2. Sur une suite réelle, ce raccourci reste une extrapolation à contrôler.

La méthode d'Aitken, ou procédé Δ² d'Aitken, transforme une suite numérique u_n en une nouvelle suite accélérée. Pour chaque indice n, elle exploite trois termes consécutifs u_n, u_n+1 et u_n+2. La première différence mesure la variation entre deux termes ; la seconde différence mesure la variation de ces variations.

Si la seconde différence n'est pas nulle, le terme accéléré A_n vaut : $u_n-\frac{(u_{n+1}-u_n{)}^2}{u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n}u\_n-\backslash frac\{(u\_\{n+1\}-u\_n)^2\}\{u\_\{n+2\}-2u\_\{n+1\}+u\_n\}$. La forme équivalente $\frac{u_n{u}_{n+2}-u_{n+1}^2}{u_n-2u_{n+1}+u_{n+2}}\backslash frac\{u\_nu\_\{n+2\}-u\_\{n+1\}^2\}\{u\_n-2u\_\{n+1\}+u\_\{n+2\}\}$ peut être utile pour un calcul exact, mais les deux écritures subissent les mêmes difficultés numériques lorsque le dénominateur est petit.

Le modèle qui motive la formule est u_n = L + a qⁿ : L désigne la limite, a l'écart initial et q un rapport constant. Lorsque ce modèle est exact et que la seconde différence ne s'annule pas, A_n est exactement égal à L. Pour une suite seulement proche de ce modèle, l'accélération est possible, mais elle n'est pas garantie.

Soit u_n une suite numérique. À l'indice n, calculez d'abord sa première différence Δu_n, puis sa seconde différence Δ²u_n.

Si Δ²u_n ≠ 0, remplacez u_n par le terme d'Aitken : $A_n=u_n-\frac{(\mathrm{\Delta }{u}_n{)}^2}{{\mathrm{\Delta }}^2{u}_n}A\_n=u\_n-\backslash frac\{(\backslash Delta\; u\_n)^2\}\{\backslash Delta^2u\_n\}$. Répétez l'opération sur chaque triplet disponible pour former la suite accélérée, puis contrôlez sa stabilité avec les termes suivants ou un résidu connu.

Le procédé demande trois termes consécutifs finis et des opérations définies dans le corps numérique considéré. Il faut aussi que la seconde différence u_n+2 − 2u_n+1 + u_n soit non nulle. En calcul approché, elle doit être assez éloignée de zéro au regard de la précision utilisée pour éviter une division très instable.

L'hypothèse utile est locale : près de la limite, les erreurs successives doivent se comporter approximativement comme une progression géométrique. Le rapport peut être positif ou négatif ; une convergence alternée n'est donc pas exclue par principe.

Avec les termes 1, 2 et 3, la seconde différence vaut 3 − 2 × 2 + 1 = 0 : la formule est bloquée. Il faut alors conserver la suite brute, attendre un autre triplet ou employer une méthode adaptée aux informations disponibles.

Considérons la suite u_n = 2 + 4(1/2)ⁿ. Les trois données utilisées au départ sont u₀ = 6, u₁ = 4 et u₂ = 3. Nous cherchons le terme accéléré A₀.

1. La première différence vaut Δu₀ = u₁ − u₀ = 4 − 6 = −2.

2. La seconde différence vaut Δ²u₀ = u₂ − 2u₁ + u₀ = 3 − 8 + 6 = 1. Le dénominateur est donc non nul.

3. Appliquons la formule : $A_0=6-\frac{(-2{)}^2}{1}=2A\_0=6-\backslash frac\{(-2)^2\}\{1\}=2$. Le triplet suivant, 4, 3 et 2,5, donne de même A₁ = 4 − (−1)²/0,5 = 2.

4. Le contrôle vient de l'expression de départ : 4(1/2)ⁿ tend vers 0, donc u_n tend vers 2. Les deux valeurs accélérées atteignent exactement cette limite. Le graphe des sept premiers termes montre la suite brute qui s'en approche et les cinq termes d'Aitken déjà placés sur 2.

Lorsqu'une itération fournit lentement des approximations successives d'une même valeur, trois sorties consécutives suffisent pour tenter Aitken. Si la seconde différence est petite ou irrégulière, poursuivre l'itération brute est plus prudent.

Dans un tableur ou un programme, calculez la valeur accélérée à côté de chaque triplet, sans écraser les données d'origine. Comparez ensuite plusieurs A_n successifs : leur accord est un contrôle utile, tandis qu'une forte dispersion invite à garder les u_n.

Quand le problème fournit un résidu ou une équation à satisfaire, évaluez ce critère avec la valeur d'Aitken. Une diminution du résidu constitue un indice, mais ne confirme pas à elle seule l'amélioration : si l'erreur est accessible, comparez-la directement, ou appuyez-vous sur une condition indépendante. Si le résidu ne diminue pas, la suite brute ou une méthode exploitant directement l'équation constitue une meilleure option.

Méthode d'Aitken et moyenne de deux termes. Une moyenne utilise deux valeurs et les pondère à parts égales ; Aitken utilise trois termes et estime la progression de leurs écarts. Avec 6, 4 et 3, la moyenne de 4 et 3 vaut 3,5, tandis que le terme d'Aitken vaut 2.

Méthode d'Aitken et extrapolation de Richardson. Aitken estime un rapport local à partir de trois termes consécutifs. Richardson s'appuie sur une loi d'erreur liée à un pas que l'on fait varier. En l'absence de pas identifié, le triplet 6, 4, 3 relève directement du cadre d'Aitken.

Seconde différence nulle. Le seuil exact Δ²u_n = 0 rend la formule indéfinie. Le symptôme est une division par zéro, comme pour le triplet 1, 2, 3. Il faut ignorer ce terme accéléré et conserver les valeurs brutes.

Seconde différence presque nulle. Une division reste possible, mais les erreurs d'arrondi peuvent être fortement amplifiées. Un terme accéléré démesuré ou très variable est un signal d'alerte. Il faut augmenter la précision si elle est disponible, ou renoncer à l'extrapolation sur ce triplet.

Comportement non géométrique. Trois points déterminent toujours une extrapolation lorsque le dénominateur ne s'annule pas, mais pas nécessairement une meilleure approximation. Si les A_n successifs s'éloignent ou si le résidu augmente, il faut revenir à la suite originale plutôt que retenir le saut le plus spectaculaire.

Convergence accélérée, limite inchangée. La méthode vise la même limite ; elle ne démontre ni son existence ni la convergence de la suite de départ. Avant d'interpréter une valeur stable, il faut la confronter aux termes suivants ou à une condition indépendante du problème.

suite géométrique — Étudier le modèle à rapport constant qui rend l'extrapolation d'Aitken exacte lorsque sa seconde différence ne s'annule pas.