Convergence géométrique

Une estimation vise 10, mais commence à 2. Il lui manque 8. Si chaque nouvelle étape divise ce manque par deux, les valeurs deviennent 6, puis 8, puis 9 : les erreurs valent successivement 4, 2 et 1. La cible n'est pas atteinte d'un coup, mais la distance qui en sépare diminue toujours dans la même proportion.

Cette réduction régulière de l'erreur est l'idée de la convergence géométrique. Ici, chaque étape conserve la moitié de l'erreur précédente : le facteur vaut 1/2.

Soit une suite d'approximations x_n qui tend vers une limite ℓ. L'erreur à l'étape n est le nombre e_n = x_n − ℓ. On parle de convergence géométrique lorsqu'il existe un facteur q strictement compris entre 0 et 1 tel que, au moins à partir d'un certain rang, $\mathrm{\mid }{e}_{n+1}\mathrm{\mid }\le q\mathrm{\mid }{e}_n\mathrm{\mid }|e\_\{n+1\}|\backslash le\; q|e\_n|$. En répétant cette inégalité, l'erreur est majorée par $\mathrm{\mid }{e}_n\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }{e}_N\mathrm{\mid }{q}^{n-N}|e\_n|\backslash le\; |e\_N|q^\{n-N\}$ pour tout indice n supérieur ou égal au rang N choisi.

Si la limite visée est 0, on peut prendre e_n = a_n. Le critère devient alors |a_n+1| ≤ q|a_n|. Une suite géométrique de raison r, avec |r| < 1, en fournit le modèle exact : la valeur absolue de chaque terme est multipliée par |r|. Le signe peut alterner lorsque r est négatif, sans changer la décroissance de l'erreur absolue.

En analyse numérique, on rencontre aussi le nom de convergence linéaire. Les conventions varient : certaines réservent ce nom au cas où le quotient |e_n+1|/|e_n| tend vers une constante comprise entre 0 et 1, et parlent de majoration géométrique pour la seule inégalité. Dans les deux lectures, qⁿ décroît plus vite que 1/n. Une convergence quadratique, où l'erreur suivante est contrôlée par le carré de l'erreur courante, devient encore plus rapide lorsque l'erreur est assez petite.

Approchons la cible ℓ = 10 par la règle x_n+1 = (x_n + 10)/2. Les données sont la valeur initiale x₀ = 2, la cible 10 et l'erreur e_n = x_n − 10. Nous calculerons cinq nouvelles valeurs.

1. La première étape donne x₁ = (2 + 10)/2 = 6. L'erreur absolue passe de |2 − 10| = 8 à |6 − 10| = 4.

2. Les étapes suivantes donnent x₂ = 8, x₃ = 9, x₄ = 9,5 et x₅ = 9,75. Les erreurs absolues correspondantes sont 2, 1, 0,5 et 0,25. La figure montre cette réduction régulière.

3. Pour tout indice n, la règle de calcul donne $e_{n+1}=\frac{x_n+10}{2}-10=\frac{e_n}{2}e\_\{n+1\}=\backslash frac\{x\_n+10\}\{2\}-10=\backslash frac\{e\_n\}\{2\}$. Le facteur q vaut donc exactement 1/2.

4. Après cinq étapes, la formule |e₅| = 8 × (1/2)⁵ donne 8/32 = 0,25. La valeur calculée, 9,75, se trouve bien à 0,25 de la cible 10.

Le contrôle est refaisable à chaque ligne : 4/8 = 2/4 = 1/2, puis 0,5/1 = 0,25/0,5 = 1/2. Le même quotient confirme la convergence géométrique.

Dans une itération de point fixe, on compare les valeurs absolues de deux erreurs successives lorsqu'une valeur de référence est connue. Si le quotient |e_n+1|/|e_n| reste nettement inférieur à 1, un modèle géométrique aide à estimer le nombre d'étapes encore nécessaire. Si ce quotient se rapproche de 1, cette estimation devient trop optimiste.

Pour fixer un arrêt de calcul, une majoration |e_n| ≤ Cqⁿ transforme une tolérance en nombre d'itérations. Dans l'exemple, chaque étape gagne un facteur 2 sur l'erreur : passer de 8 à moins de 0,5 demande cinq étapes, car l'erreur vaut alors 0,25.

Pour comparer deux algorithmes, le facteur asymptotique le plus petit indique généralement la réduction la plus forte par étape. Ce critère ne suffit pas si les étapes n'ont pas le même coût ; il faut alors confronter aussi le temps de calcul ou le nombre d'opérations.

Suite géométrique. Ses termes vérifient a_n+1 = ra_n. Une convergence géométrique décrit plutôt la vitesse à laquelle une erreur décroît. Dans l'exemple, la suite x_n n'est pas géométrique, mais ses erreurs e_n le sont.

Série géométrique convergente. Elle concerne la limite des sommes 1 + r + ⋯ + rⁿ, pas la vitesse d'une approximation. Avec r = 1/2, la série converge vers 2, tandis que les restes ou les erreurs peuvent décroître géométriquement.

Convergence quadratique. Une relation du type |e_n+1| ≤ C|e_n|² dépend du carré de l'erreur, et non d'un facteur fixe. Pour une petite erreur, 0,01 devient de l'ordre de 0,0001, au lieu de 0,005 avec un facteur 1/2.

Facteur égal ou supérieur à 1. La borne |e_n+1| ≤ q|e_n| n'impose plus de diminution géométrique lorsque q = 1, et autorise même une croissance lorsque q > 1. Il faut établir un facteur strictement inférieur à 1.

Inégalité vérifiée seulement au début. Quelques quotients égaux à 1/2 ne prouvent pas une propriété valable pour toute la suite. Il faut justifier l'inégalité à partir d'un rang, comme le fait l'identité e_n+1 = e_n/2 dans l'exemple.

Erreur nulle. Si une étape atteint exactement la limite, les quotients suivants peuvent devenir 0/0 et ne sont plus définis. La convergence est pourtant acquise si les valeurs restent ensuite égales à la limite ; on utilise l'inégalité plutôt qu'un quotient.

Oscillations de signe. Un facteur négatif peut faire passer les valeurs de part et d'autre de la limite. Le contrôle porte sur |e_n| : si cette valeur absolue est multipliée par un nombre inférieur à 1, l'oscillation n'empêche pas la convergence.

La fiche Vitesse de convergence situe le facteur géométrique parmi les critères qui comparent le comportement asymptotique des suites.

Le théorème du point fixe montre pourquoi une application contractante produit une erreur dominée par une progression géométrique.

La fiche suite géométrique détaille le modèle exact dans lequel chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une raison constante.