Supergéométrique

Imaginez que l'on multiplie successivement un nombre par des facteurs de plus en plus grands. Avec une suite géométrique, le facteur reste le même. Avec la suite des factorielles, le facteur entre deux termes vaut successivement 2, 3, 4, 5, puis augmente sans borne. Une suite supergéométrique est une suite dont les termes finissent ainsi par prendre de l'avance sur toute progression obtenue avec un facteur multiplicatif fixe.

Une suite réelle (a_n) est dite supergéométrique, dans le cadre de la définition fournie, lorsque ses termes sont positifs à partir d'un certain rang et croissent plus vite que toute suite de la forme C rⁿ, où C et r sont des constantes positives. Le critère associé porte sur le rapport entre deux termes consécutifs : si les termes sont positifs à partir d'un certain rang et que $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to +\mathrm{\infty }\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}\backslash to+\backslash infty$, le facteur de croissance n'est plus borné par une constante.

La positivité éventuelle concerne aussi les termes de la suite, et pas seulement les constantes de comparaison : elle garantit que le rapport s'interprète comme un facteur de croissance. La suite des factorielles vérifie le critère, car son terme de rang n est n! et le rapport de deux termes consécutifs vaut n + 1. La notion décrit donc une croissance plus rapide que l'exponentielle à base fixe ; elle ne signifie pas qu'une suite augmente à chaque rang sans exception si cette hypothèse n'est pas donnée.

Considérons la suite factorielle définie par $a_n=n!a\_n=n!$, avec les premiers termes 1!, 2!, 3!, 4!, 5! et 6!. Elle fournit un test direct du critère supergéométrique.

Les données utiles sont 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 et 6! = 720.

On calcule le premier rapport : 2! ÷ 1! = 2.
Le suivant vaut 3! ÷ 2! = 3.
Puis 4! ÷ 3! = 4, 5! ÷ 4! = 5 et 6! ÷ 5! = 6.

Le rapport entre deux termes consécutifs est donc n + 1 au rang n. Comme n + 1 dépasse toute constante lorsque n augmente, le critère est vérifié. Le contrôle consiste à retrouver directement n! × (n + 1) = (n + 1)! ; par exemple, 120 × 6 = 720.

En analyse, le rapport de termes consécutifs sert à repérer rapidement une croissance supergéométrique. Lorsque ce rapport augmente sans borne, une comparaison avec une suite géométrique à facteur fixe devient insuffisante pour décrire le comportement à long terme.

Pour estimer une taille d'objet ou un temps de calcul, cette distinction aide à choisir une alternative adaptée : une borne exponentielle peut convenir à une croissance géométrique, tandis qu'une analyse spécifique est nécessaire pour une croissance factorielle ou plus rapide. Le critère observable est l'évolution du rapport entre deux valeurs successives.

Une suite géométrique possède un rapport constant entre deux termes consécutifs : ce rapport reste égal à une même valeur r. Pour la suite factorielle, le rapport vaut n + 1 au rang n et devient arbitrairement grand. Une valeur qui augmente fortement ne suffit donc pas ; c'est l'évolution du rapport qui tranche.

La convergence quadratique est une notion différente : elle décrit la vitesse à laquelle une erreur tend vers zéro dans un procédé itératif, et non la croissance d'une suite par rapport aux suites géométriques. Une méthode de Newton peut avoir une convergence quadratique sans que la suite de ses itérés soit supergéométrique.

Un rapport qui tend vers l'infini ne peut être interprété que lorsque le dénominateur a_n n'est pas nul à partir d'un certain rang. Si des termes nuls persistent, le rapport n'est pas défini ; il faut alors revenir à une comparaison directe des termes ou changer de critère.

La suite factorielle commence par des valeurs modestes, mais ses rapports sont déjà 2, 3, 4, 5 et 6 pour les cinq premiers passages de l'exemple. Le seuil charnière est qualitatif : pour une suite positive à partir d'un certain rang et dont le rapport est défini à partir de ce rang, un rapport qui dépasse toute constante caractérise le comportement supergéométrique selon le critère retenu ici.

Le mot « plus vite » doit être compris asymptotiquement. Quelques premiers termes peuvent être plus petits ou plus grands selon la constante C et la base r choisies ; la comparaison porte sur le comportement lorsque n tend vers l'infini, non sur chaque rang isolé.

Le critère des rapports relie une suite concrète à une idée plus générale de hiérarchie des croissances. Pour prolonger l'étude, on peut comparer successivement les familles polynomiales, exponentielles et factorielles, en observant quelle transformation — terme lui-même, rapport ou logarithme — rend la comparaison la plus lisible.