AnalyseFormule · Glossaire
formule de Parseval
La formule de Parseval, également appelée égalité de Parseval ou identité de Parseval, est un résultat fondamental de l'analyse de Fourier exprimant la conservation de l'énergie lors du passage d'une fonction à ses coefficients de Fourier. Soit f une fonction T-périodique de carré intégrable sur une période, en particulier continue par morceaux. Les coefficients de Fourier complexes de f sont définis par : C_n = (1/T) · ∫_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{−2inπt/T} dt, pour n ∈ ℤ. La formule de Parseval affirme alors que la série Σ_{n=−∞}^{+∞} |C_n|² converge et vérifie : Σ_{n=−∞}^{+∞} |C_n|² = (1/T) · ∫_{-T/2}^{T/2} |f(t)|² dt. Ce dernier membre est le carré de la norme L² normalisée sur une période, définie ici par ‖f‖²_{L²,norm} = (1/T) · ∫_{-T/2}^{T/2} |f(t)|² dt. Cette égalité s'interprète comme la préservation de la norme au carré lors de la transformation de Fourier : la somme des puissances de tous les harmoniques est égale à la puissance totale du signal. Elle se généralise à la transformée de Fourier sur ℝ, où elle prend la forme ‖f̂‖² = ‖f‖², et constitue un cas particulier du théorème de Plancherel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter Parseval comme l’égalité entre puissance moyenne du signal et somme des énergies harmoniques.
- Énoncer les hypothèses, la convention des coefficients complexes et l’identité exacte.
- Vérifier les deux membres sur la fonction périodique f(t) = 1 + 2 cos t.
- Distinguer Parseval, la formule des coefficients et le cadre de Plancherel.
- Repérer les erreurs de normalisation, de module et de troncature.
En clair
Imaginez un signal qui répète toujours le même motif. On peut mesurer sa puissance moyenne directement sur une période, ou le décomposer en harmonique fondamentale et en harmoniques plus rapides.
La formule de Parseval affirme que ces deux comptages donnent le même total. Chaque coefficient de Fourier apporte une quantité positive, son module au carré. Leur somme restitue exactement la moyenne du module au carré du signal. La décomposition change donc la manière de décrire le signal, mais elle ne perd pas son énergie.
Définition
La formule de Parseval est une identité de l’analyse de Fourier. Elle s’applique à une fonction f de période T dont le module au carré est intégrable sur une période. Pour chaque entier n, le coefficient de Fourier complexe Cn mesure la composante de fréquence n/T : .
L’identité relie alors deux descriptions d’une même quantité : . À gauche, on additionne les modules au carré de tous les coefficients. À droite, on calcule la moyenne du module au carré de f sur une période. Cette quantité est le carré de la norme L2 normalisée sur une période, définie ici par .
Une fonction continue par morceaux satisfait notamment les hypothèses lorsqu’elle est de carré intégrable. Pour la transformée de Fourier sur ℝ, l’égalité des normes prend la forme ‖f̂‖² = ‖f‖² avec une convention de normalisation unitaire. Cette extension relève du théorème de Plancherel.
Le principe
Soit f une fonction T-périodique de carré intégrable sur une période. Pour chaque entier n, on note Cn son coefficient de Fourier complexe défini avec le facteur 1/T. Alors la série des modules au carré converge et . La somme des contributions de toutes les harmoniques est donc égale à la puissance moyenne du signal sur une période.
Quand l'utiliser
Le cadre périodique exige une période T strictement positive et une fonction f dont |f(t)|² possède une intégrale finie sur une période. Les coefficients doivent tous être calculés avec la même convention, ici le facteur 1/T et l’exponentielle e−2inπt/T. Le choix de l’intervalle d’intégration peut être déplacé, mais sa longueur doit rester égale à T.
Une fonction dont l’intégrale de |f|² est infinie fournit un contre-cas : sa norme L2 n’est pas finie, et l’identité de Parseval dans L2 ne peut pas être invoquée. Pour une fonction non périodique sur ℝ qui appartient à L2(ℝ), on ne fabrique pas une période artificielle ; on emploie la version adaptée à la transformée de Fourier, c’est-à-dire le cadre de Plancherel.
Un exemple, pas à pas
Données. Sur l’intervalle [−π, π], considérons la fonction réelle f définie par f(t) = 1 + 2 cos t, puis prolongée avec la période T = 2π. On calcule ses coefficients complexes et les deux membres de l’égalité de Parseval.
1. La relation donne . Les seuls coefficients non nuls sont donc C−1 = 1, C0 = 1 et C1 = 1.
2. Le membre de gauche vaut . Les autres rangs n’ajoutent rien puisque leurs coefficients sont nuls.
3. Comme f est réelle, son module au carré est son carré : . Sur une période, la moyenne de cos t vaut 0 et celle de cos² t vaut 1/2.
4. Le membre de droite vaut donc . La puissance moyenne du signal est 3, sans unité dans cet exemple.
Contrôle. Les trois contributions spectrales valent chacune 1 ; leur somme 3 coïncide avec la moyenne directe. La représentation des trois parts rend visible cette conservation entre coefficients et signal.
En pratique
Lorsqu’un signal périodique est déjà décrit par ses coefficients de Fourier, Parseval donne sa puissance moyenne en additionnant leurs modules au carré. Si la fonction elle-même est plus simple à intégrer, le calcul direct sur une période est préférable.
Pour contrôler un calcul de coefficients, on compare leur somme quadratique à l’intégrale de |f|². Un désaccord révèle une erreur de coefficient, de période ou de normalisation ; l’égalité indique où chercher sans identifier à elle seule le terme fautif.
Avec une série tronquée aux rangs de −N à N, la somme obtenue mesure l’énergie captée par ces harmoniques. On augmente N tant que l’énergie omise importe. Lorsque seuls quelques coefficients sont non nuls, comme dans l’exemple, la somme finie est déjà exacte.
À ne pas confondre
Avec la formule des coefficients de Fourier. Cette formule calcule chaque Cn par une intégrale contenant une exponentielle complexe. Parseval relie ensuite la somme des |Cn|² à l’intégrale de |f|². Chercher une harmonique précise appelle la première ; contrôler l’énergie totale appelle la seconde.
Avec le théorème de Plancherel. Dans la formulation donnée ici, Parseval concerne les coefficients discrets d’une fonction périodique. Plancherel fournit le cadre de conservation de la norme pour la transformée de Fourier sur ℝ. Un signal périodique décrit par une série relève de Parseval ; une fonction non périodique appartenant à L2(ℝ) relève du cadre de Plancherel.
Limites et pièges
Continuité non indispensable. La continuité par morceaux est un cas suffisant commode, mais l’hypothèse centrale est l’intégrabilité de |f|² sur une période. Une discontinuité isolée n’interdit donc pas Parseval ; il faut vérifier l’appartenance à L2 plutôt que rejeter automatiquement la fonction.
Normalisation à conserver. Les facteurs T et 2π dépendent de la convention choisie pour les coefficients ou la transformée. Copier l’égalité sans copier la convention produit un facteur erroné. Il faut définir Cn d’abord, puis employer la version compatible de Parseval.
Module au carré, pas carré ordinaire. Pour une fonction complexe, f(t)² peut être complexe et ne mesure pas une énergie positive. Le bon terme est |f(t)|², tout comme le bon terme spectral est |Cn|². Les deux coïncident avec des carrés ordinaires seulement lorsque les valeurs concernées sont réelles.
Somme partielle incomplète. Parseval porte sur tous les rangs entiers. Pour un seuil N, la somme de −N à N ne donne que l’énergie des harmoniques conservées. Elle égale le total uniquement si tous les coefficients de rang |n| > N sont nuls ; sinon, il faut comptabiliser le reste.
Pour aller plus loin
Plancherel (transformée de) — Étend la conservation de la norme au cadre de la transformée de Fourier sur ℝ.
Fourier Joseph — Situe la personne dont le nom est attaché aux coefficients et à l’analyse employés dans la formule.
Triangle de Pascal, programmation et transformée de Fourier — Offre un prolongement éditorial autour de la transformée de Fourier et de son calcul.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres