Loi indéfiniment divisible

Imaginez un compteur qui relève en moyenne six arrivées pendant une heure. On peut attribuer chaque arrivée, au hasard et indépendamment, à l'un de trois compteurs. Chacun en relève alors deux en moyenne, et leur total retrouve la loi du compteur initial.

Une loi est indéfiniment divisible lorsque ce découpage reste possible en deux, trois, quatre morceaux identiques, et ainsi de suite. Les morceaux sont indépendants entre eux. Leur somme a exactement la loi de départ, même si une réalisation donnée n'est pas matériellement découpée.

Soit une loi de probabilité notée μ. Elle est indéfiniment divisible si, pour chaque entier n supérieur ou égal à 1, il existe une loi μ_n telle que μ soit la convolution de n copies de μ_n. Autrement dit, une variable X de loi μ peut avoir la même loi qu'une somme de n variables indépendantes et de même loi μ_n. La loi racine μ_n peut changer avec n.

En notant φ la fonction caractéristique de μ et φ_n celle de μ_n, la condition s'écrit $\phi (t)=({\phi }_n(t){)}^n\backslash varphi(t)=\backslash bigl(\backslash varphi\_n(t)\backslash bigr)^n$ pour tout nombre réel t. La formule de Lévy-Khintchine décrit précisément les fonctions caractéristiques qui possèdent cette propriété.

Les lois normale, de Poisson, gamma et de Cauchy appartiennent à cette classe. Les lois indéfiniment divisibles sont exactement les limites en loi possibles de sommes formées à partir de tableaux triangulaires de variables indépendantes infinitésimales, sous les conditions usuelles de convergence de ces sommes.

Pour tester la propriété, on fixe un entier n supérieur ou égal à 1 et l'on cherche une fonction caractéristique φ_n. La loi de fonction caractéristique φ est indéfiniment divisible si, pour chaque n, φ_n est elle-même une fonction caractéristique et vérifie :

Il faut donc obtenir une racine admissible pour tout n, et non une simple racine complexe choisie point par point.

La propriété concerne une loi de probabilité sur les nombres réels, ou plus généralement sur un cadre où la somme et la convolution sont définies. Pour chaque entier n, il faut produire n variables qui sont à la fois indépendantes et identiquement distribuées. Seule l'égalité en loi de leur somme avec la variable initiale est exigée.

Une factorisation valable pour un seul entier ne suffit pas. Par exemple, une loi de Bernoulli de paramètre p strictement compris entre 0 et 1 est non dégénérée et à support borné ; elle n'est pas indéfiniment divisible. Dans ce cas, il faut étudier une approximation ou une autre famille de lois, plutôt que chercher des racines de convolution pour tout n.

On considère un nombre d'arrivées X qui suit une loi de Poisson de paramètre 6. On veut vérifier le découpage demandé pour n = 3. Les données sont donc le paramètre total 6, trois composantes, et l'indépendance de ces composantes.

1. On divise le paramètre total par le nombre de composantes : 6 ÷ 3 = 2.
2. On choisit trois variables X₁, X₂ et X₃, indépendantes, chacune de loi de Poisson de paramètre 2.
3. On additionne leurs paramètres, car la somme de variables de Poisson indépendantes suit une loi de Poisson dont le paramètre est la somme : 2 + 2 + 2 = 6.

Ainsi, X₁ + X₂ + X₃ suit exactement la même loi de Poisson de paramètre 6 que X. Le contrôle se refait avec les espérances : chaque composante a pour espérance 2, donc la somme a pour espérance 6. Le même raisonnement fonctionne pour tout entier n en choisissant un paramètre égal à 6/n. Le schéma matérialise cette addition de trois lois identiques.

Pour modéliser des comptages sur des intervalles, un processus de Poisson permet de subdiviser la durée en autant d'intervalles disjoints que nécessaire : leurs accroissements sont indépendants et leurs paramètres sont additifs. Si les arrivées se regroupent ou s'influencent, cette indépendance n'est plus justifiée et un autre modèle doit être choisi.

Dans l'étude des processus à accroissements indépendants, la loi observée à un instant doit pouvoir provenir de la somme des accroissements sur des sous-intervalles. L'indéfinie divisibilité est alors le test naturel de compatibilité pour les lois marginales.

Pour analyser une limite de nombreuses petites contributions indépendantes, la formule de Lévy-Khintchine sépare une composante gaussienne, une dérive et une composante de sauts. Une approximation normale seule convient plutôt lorsque les hypothèses du théorème central limite décrivent correctement le phénomène.

Une loi stable reste, à changement d'échelle et de position près, dans la même famille après addition de copies indépendantes. Toute loi stable est indéfiniment divisible, mais l'inverse est faux : la loi de Poisson est indéfiniment divisible sans être stable au sens strict.

La divisibilité d'un nombre entier porte sur ses diviseurs. Ici, le mot qualifie une loi et l'opération pertinente est la convolution : trois lois de Poisson de paramètre 2 recomposent une loi de Poisson de paramètre 6.

Une loi simplement décomposable peut être la convolution de deux lois sans posséder de racine pour chaque entier n. Le critère qui tranche est l'existence de composantes indépendantes et identiquement distribuées pour tous les entiers n.

La loi racine dépend généralement de n. Employer la même composante pour tous les découpages conduit à des paramètres incohérents ; pour une loi de Poisson de paramètre 6, la racine d'ordre n a pour paramètre 6/n.

L'égalité demandée est une égalité en loi. Elle ne fournit pas automatiquement un découpage, sur un même espace probabilisé, de chaque valeur observée de X. Il faut construire explicitement un couplage si une égalité variable par variable est nécessaire.

Une loi concentrée en un seul point est un cas dégénéré mais valide : la masse au point a est la somme de n masses au point a/n. Exclure les lois constantes ferait donc perdre un cas limite légitime.

La caractérisation par des sommes infinitésimales ne concerne pas n'importe quelle suite de sommes. Elle utilise des tableaux triangulaires indépendants dont chaque terme devient négligeable. Sans cette infinitésimalité et sans convergence en loi de la somme, aucune conclusion ne suit.

La loi de Poisson donne la décomposition la plus directe : ses paramètres s'additionnent sous indépendance.

La convolution formalise la loi d'une somme de variables indépendantes et rend précise la notion de racine d'une loi.

La fonction caractéristique transforme une convolution en produit et mène au critère ainsi qu'à la formule de Lévy-Khintchine.

Les fiches sur la loi gamma et la loi de Cauchy présentent deux autres exemples, avec des comportements très différents.