Constante de Neper

Imaginez 1 euro qui double en un an. Si la croissance est ajoutée une seule fois, il devient 2 euros. Si elle est répartie en deux ajouts successifs, il devient 2,25 euros. En découpant l'année en toujours plus de périodes, le résultat se rapproche d'une valeur stable : 2,71828… Cette valeur est le nombre e, appelé constante de Neper.

Ce nombre apparaît naturellement lorsqu'une quantité grandit en proportion de sa valeur présente. Il joue pour l'exponentielle et le logarithme naturel le rôle que 10 joue dans l'écriture décimale.

La constante de Neper est le nombre réel positif noté e, de valeur approchée 2,71828. Elle est la base du logarithme naturel. Pour tout entier positif n, considérons le nombre obtenu en élevant 1 + 1/n à la puissance n. Lorsque n augmente sans borne, cette suite tend vers e : ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{n})}^n=e\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; +\backslash infty\}\; \backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n=e$.

Une définition équivalente additionne les inverses des factorielles des entiers naturels : Ici, le symbole k! désigne le produit des entiers de 1 à k, avec 0! = 1.

La fonction réelle x ↦ e^x est l'unique fonction dérivable égale à sa propre dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Le nombre e est transcendant : il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers, résultat démontré par Hermite en 1873. Ces propriétés expliquent sa place centrale en analyse et dans les modèles de croissance.

Partons d'un capital fictif de 1 euro soumis à une croissance annuelle de 100 %, répartie en n périodes égales. À chaque période, le capital est multiplié par 1 + 1/n. Les données sont donc : capital initial 1 euro ; taux annuel 100 % ; nombre de périodes n ; durée totale un an.

Après n périodes, le capital en euros vaut :

1. Avec une seule période, C₁ = (1 + 1)¹ = 2 euros.

2. Avec deux périodes, C₂ = (1 + 1/2)² = 2,25 euros.

3. Avec quatre périodes, C₄ = (1 + 1/4)⁴ = 2,44140625 euros.

4. Avec douze périodes, C₁₂ ≈ 2,61304 euros ; avec 365 périodes, C₃₆₅ ≈ 2,71457 euros.

Les résultats se rapprochent de e ≈ 2,71828 euros lorsque n augmente. Le contrôle consiste à remplacer n par 1, 2 ou 4 dans la même formule : on retrouve exactement les trois premiers montants.

Pour modéliser une croissance ajoutée à intervalles réguliers, on emploie le facteur (1 + 1/n)ⁿ. Lorsque le découpage devient idéalement continu, la limite e fournit le facteur correspondant après une unité de temps.

En analyse, e^x est le choix naturel quand le taux de variation d'une quantité est égal à cette quantité. Si les accroissements sont décrits période par période, une suite discrète reste l'alternative adaptée.

Pour transformer une multiplication en addition, on utilise le logarithme naturel, de base e. Un logarithme d'une autre base convient plutôt lorsque le problème fixe explicitement cette autre base.

Le nombre e et la fonction exponentielle. e est une constante, tandis que x ↦ e^x est une fonction. À x = 1, la fonction prend la valeur e ; à x = 0, elle vaut 1.

e et une valeur approchée. 2,71828 est un arrondi décimal, pas une autre définition exacte du nombre. Un calcul symbolique conserve e ; un calcul numérique affiche une approximation dont il faut préciser la précision.

Logarithme naturel et logarithme en base 10. Le premier a pour base e ; le second a pour base 10. Le critère qui tranche est donc la base annoncée, même si les deux fonctions transforment des produits en sommes.

Une étape finie ne donne pas encore e. Pour n = 365, (1 + 1/n)ⁿ vaut environ 2,71457, et non 2,71828. Il faut écrire une approximation et réserver l'égalité à la limite lorsque n tend vers l'infini.

Le paramètre n doit suivre la définition. Dans la suite donnée, n est un entier strictement positif. n = 0 rend 1/n impossible ; on commence donc à n = 1.

L'égalité avec sa dérivée comporte une condition initiale. Plusieurs fonctions satisfont f′ = f, notamment x ↦ A e^x pour une constante réelle A. La condition f(0) = 1 impose A = 1 et rend la fonction unique.

Une longue écriture décimale ne prouve pas la transcendance. Cette propriété signifie précisément qu'aucun polynôme non nul à coefficients entiers n'a e pour racine ; elle ne se déduit pas d'un arrondi.

La constante e devient pleinement opératoire lorsqu'elle sert de base à une fonction dont la dérivée reproduit exactement la valeur. Cette propriété relie croissance, calcul différentiel et logarithme naturel.

Fonction exponentielle — Pour prolonger la constante e vers la fonction x ↦ e^x et son rôle dans les phénomènes de croissance.