Riccati Vincenzo

Imaginez deux nombres construits à partir d'une même exponentielle : sa valeur en x, e^x, où e désigne la base de la fonction exponentielle, et sa valeur en -x, e^−x, qui est aussi son inverse, 1/e^x. En les additionnant ou en les soustrayant, on obtient les fonctions hyperboliques cosinus et sinus. Leur comportement ressemble à celui des fonctions trigonométriques, mais il est lié à la croissance et à la décroissance exponentielles. Vincenzo Riccati a étudié ces fonctions de manière approfondie. Il a notamment établi leurs formules d'addition, calculé leurs dérivées et éclairé leur relation avec la fonction exponentielle. Ces outils décrivent donc un même phénomène sous plusieurs formes calculables.

Vincenzo Riccati est un mathématicien jésuite italien né en 1707 et mort en 1775. Sa contribution la plus marquante concerne la théorie des fonctions hyperboliques, qu'il a développée avant la présentation systématique de Johann Heinrich Lambert. Pour une variable réelle x, le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique se définissent à partir de la fonction exponentielle par les relations suivantes :

Ici, e désigne la base de la fonction exponentielle. Ces définitions entraînent des formules d'addition, des dérivées et des relations directes avec cette fonction. Riccati a aussi prolongé et publié les travaux de son père Jacopo Riccati sur les équations différentielles et leurs applications hydrauliques. Son activité s'est donc située à la fois dans l'analyse différentielle et dans l'étude des fonctions hyperboliques.

Prenons la valeur x = 1, sans unité, et calculons les deux fonctions hyperboliques principales à partir de leurs définitions. Les données sont x = 1 et e ≈ 2,71828, avec e⁻¹ ≈ 0,36788.

La somme des deux valeurs exponentielles vérifie e + e⁻¹ ≈ 2,71828 + 0,36788 = 3,08616.
Le cosinus hyperbolique vaut donc cosh(1) = (e + e⁻¹) ÷ 2 ≈ 3,08616 ÷ 2 ≈ 1,54308.
La différence vérifie e − e⁻¹ ≈ 2,71828 − 0,36788 = 2,35040.
Le sinus hyperbolique vaut donc sinh(1) = (e − e⁻¹) ÷ 2 ≈ 2,35040 ÷ 2 ≈ 1,17520.

Le contrôle repose sur l'identité cosh²(1) − sinh²(1) = 1. Avec les valeurs arrondies, 1,54308² − 1,17520² ≈ 1,00000. L'écart résiduel vient uniquement de l'arrondi des valeurs exponentielles.

Dans un calcul d'analyse, on peut remplacer une expression faisant intervenir e^x et e^−x par cosh(x) et sinh(x). Cette écriture rassemble les termes exponentiels et rend certaines dérivées ou identités plus lisibles.

Pour décrire une croissance symétrique autour de l'origine, le cosinus hyperbolique est adapté : il conserve la partie paire de l'exponentielle. Pour une évolution antisymétrique, le sinus hyperbolique conserve la partie impaire. Le critère observable est la symétrie du phénomène, pas son seul caractère croissant.

Dans une étude historique des équations différentielles, les fonctions hyperboliques offrent aussi une notation utile pour relier les travaux de Vincenzo Riccati aux propriétés de la fonction exponentielle. Elles complètent l'approche par les fonctions trigonométriques lorsque les signes de l'identité fondamentale sont différents.

Les fonctions hyperboliques ne sont pas les fonctions trigonométriques ordinaires. Le critère qui les sépare est leur identité fondamentale : pour les fonctions hyperboliques, cosh²(x) − sinh²(x) = 1, tandis que les fonctions trigonométriques vérifient cos²(x) + sin²(x) = 1. À x = 0, les deux familles peuvent donner des valeurs familières, mais cette coïncidence ne les rend pas interchangeables.

Le sinus hyperbolique sinh(x) ne doit pas être confondu avec la fonction réciproque du sinus. Le premier est défini par une combinaison de e^x et e^−x ; la seconde répond à la question de l'angle dont le sinus vaut x. Le critère testable est donc la présence d'une exponentielle dans la définition de sinh.

La définition par e^x et e^−x suppose que la variable x appartient au domaine où la fonction exponentielle est définie. Pour x = 1, les valeurs numériques annoncées sont des approximations ; elles ne doivent pas être réutilisées comme des égalités exactes. Le bon réflexe consiste à conserver la forme exponentielle avant tout arrondi.

À x = 0, le sinus hyperbolique vaut exactement 0 et le cosinus hyperbolique vaut exactement 1. Ce cas charnière ne permet pas de conclure que les deux fonctions sont constantes. Pour étudier leur variation, il faut utiliser leurs dérivées ou comparer plusieurs valeurs de x. La symétrie fournit aussi un contrôle concret : cosh(−x) = cosh(x), tandis que sinh(−x) = −sinh(x). Ainsi, une valeur calculée en x positif permet de vérifier la valeur correspondante en −x, avec le même résultat pour cosh et le signe opposé pour sinh.

Enfin, l'ordre historique doit rester précis. La source attribue à Riccati les formules d'addition, les dérivées et l'éclaircissement des relations avec l'exponentielle ; elle indique seulement que ces résultats précèdent la présentation systématique de Lambert. Elle ne fournit pas de date séparée pour chacune de ces contributions.

La fiche Hyperboliques (fonctions) permet de prolonger l'étude des fonctions que Riccati a développées. Elle aide à replacer les définitions, les formules d'addition et les relations avec l'exponentielle dans le cadre général des fonctions hyperboliques.