AnalyseNotion · Glossaire
Hyperboliques (fonctions)
Les fonctions hyperboliques sont des fonctions définies à partir de l'exponentielle : sinus hyperbolique sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2, cosinus hyperbolique cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2, et tangente hyperbolique tanh(x) = sinh(x)/cosh(x). Elles vérifient des identités analogues aux identités trigonométriques, comme cosh²(x) - sinh²(x) = 1. Les fonctions hyperboliques paramètrent l'hyperbole unité, de la même façon que les fonctions trigonométriques paramètrent le cercle unité. Elles apparaissent dans la résolution de nombreuses équations différentielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir sinh, cosh et tanh à partir de l'exponentielle.
- Calculer exactement les trois fonctions au point x = ln 2.
- Vérifier l'identité cosh²(x) − sinh²(x) = 1 sur les valeurs 5/4 et 3/4.
- Relier le couple (cosh(x), sinh(x)) à la branche droite de l'hyperbole unité.
- Distinguer fonctions hyperboliques, fonctions trigonométriques et fonctions réciproques.
En clair
Prenez deux nombres exponentiels réciproques, par exemple 2 et 1/2. Leur demi-somme vaut 5/4 ; leur demi-différence vaut 3/4. Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique effectuent précisément ces deux opérations quand leur entrée est ln 2.
Ces deux résultats ne varient pas au hasard : 5/4 au carré moins 3/4 au carré vaut toujours 1. Ainsi, le point obtenu se déplace sur une hyperbole, comme le couple cosinus-sinus se déplace sur un cercle.
Définition
Pour tout nombre réel x, le sinus hyperbolique, noté sinh(x), et le cosinus hyperbolique, noté cosh(x), sont construits à partir de l'exponentielle : . Comme cosh(x) est strictement positif sur les réels, leur quotient définit toujours la tangente hyperbolique : .
Les deux premières fonctions satisfont l'identité . Par conséquent, le point de coordonnées X = cosh(x) et Y = sinh(x) appartient à l'hyperbole unité d'équation X² − Y² = 1. Lorsque x parcourt les réels, X reste positif : ce paramétrage couvre exactement la branche droite, pas la branche gauche.
Pour x = ln 2, le point est (5/4, 3/4), comme le montre la représentation de la branche droite. Cette géométrie explique l'adjectif « hyperbolique ». Les identités rappellent celles des fonctions trigonométriques, avec une différence de signe essentielle, et ces fonctions interviennent aussi dans la résolution d'équations différentielles.
Un exemple, pas à pas
Calculons les trois fonctions hyperboliques pour le nombre réel x = ln 2. Les données sont ex = 2, e−x = 1/2 et les définitions par demi-somme, demi-différence et quotient.
1. Pour le sinus hyperbolique, soustrayons les deux exponentielles puis divisons par 2 : sinh(x) = (2 − 1/2)/2 = (3/2)/2 = 3/4.
2. Pour le cosinus hyperbolique, additionnons-les puis divisons par 2 : cosh(x) = (2 + 1/2)/2 = (5/2)/2 = 5/4.
3. Le quotient donne tanh(x) = (3/4)/(5/4) = 3/5.
4. Contrôlons l'identité de l'hyperbole : . Le couple (cosh(x), sinh(x)) = (5/4, 3/4) appartient donc bien à l'hyperbole unité.
En pratique
Pour transformer une expression mêlant ex et e−x, regroupez la demi-somme en cosh(x) et la demi-différence en sinh(x). Si une seule exponentielle intervient, conserver l'écriture exponentielle est souvent plus direct.
Pour placer un point sur la branche droite de X² − Y² = 1, choisissez un paramètre réel x puis prenez X = cosh(x) et Y = sinh(x). Pour atteindre la branche gauche, il faut changer le signe de la première coordonnée.
Dans une équation différentielle, une combinaison d'exponentielles opposées peut être réécrite avec sinh et cosh. Ce choix devient utile lorsque des valeurs ou des symétries en x = 0 doivent rester visibles ; sinon, les exponentielles constituent une forme équivalente.
À ne pas confondre
Fonctions hyperboliques et fonctions trigonométriques. Les fonctions cosinus et sinus ordinaires vérifient cos²(x) + sin²(x) = 1 et décrivent un cercle. Cosh et sinh vérifient cosh²(x) − sinh²(x) = 1 et décrivent une branche d'hyperbole. Le signe entre les carrés tranche immédiatement.
Fonction réciproque et inverse multiplicatif. La fonction qui annule l'action de sinh est son application réciproque, souvent notée arsinh ou argsh ; elle n'est pas le nombre 1/sinh(x). Par exemple, sinh(ln 2) = 3/4 implique arsinh(3/4) = ln 2, tandis que 1/sinh(ln 2) = 4/3.
Limites et pièges
Point charnière x = 0. On a sinh(0) = 0, cosh(0) = 1 et tanh(0) = 0. Diviser par sinh(x) à cet endroit est impossible, mais tanh(0) existe bien, car son dénominateur est cosh(0). Il faut identifier la fonction placée au dénominateur avant de conclure.
Une seule branche paramétrée. Puisque cosh(x) ≥ 1 pour tout réel x, le couple (cosh(x), sinh(x)) n'atteint jamais la partie X ≤ −1 de l'hyperbole. Pour couvrir cette branche gauche, utilisez (−cosh(x), sinh(x)).
Valeurs de la tangente hyperbolique. Pour tout x réel, tanh(x) reste strictement entre −1 et 1 ; elle s'en approche lorsque x s'éloigne, sans jamais les atteindre pour une entrée finie. Une valeur calculée de 1 ou −1 signale donc un arrondi ou une limite, pas une valeur exacte.
Soustraction numérique. Près de x = 0, ex et e−x sont proches. Leur soustraction sur une calculatrice à précision limitée peut perdre des chiffres significatifs ; une fonction sinh fournie par le logiciel est alors préférable à la formule soustraite directement.
Pour aller plus loin
fonction exponentielle — Revenir à la fonction dont les combinaisons ex et e−x construisent sinh et cosh.
hyperbole — Approfondir la courbe X² − Y² = 1 que le couple (cosh(x), sinh(x)) paramètre sur sa branche droite.
Ma première équation différentielle — Situer le type d'équation où des combinaisons d'exponentielles, donc de fonctions hyperboliques, peuvent apparaître.
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