fonction de Gudermann

Sur un globe, une latitude reste comprise entre −90° et 90°. Sur une carte de Mercator, sa coordonnée verticale peut au contraire croître sans borne. La fonction de Gudermann fait le passage dans l'autre sens : elle transforme tout nombre réel en un angle strictement compris entre −π/2 et π/2 radians, soit entre −90° et 90°.

Le nombre 0 donne l'angle 0. Une entrée positive donne un angle vers le nord, une entrée négative son symétrique vers le sud. Ce pont relie directement les fonctions hyperboliques aux sinus, cosinus et tangentes ordinaires.

La fonction de Gudermann, notée gd, associe un angle φ à chaque nombre réel t. Elle est définie par l'intégrale de l'inverse du cosinus hyperbolique, depuis 0 jusqu'à t :

Pour tout réel t, les deux expressions $2\arctan (\tanh (t\mathrm{/}2))2\backslash arctan(\backslash tanh(t/2))$ et $2\arctan (e^t)-\pi \mathrm{/}22\backslash arctan(e^t)-\backslash pi/2$ donnent le même angle, en radians. La fonction est strictement croissante, impaire et prend ses valeurs dans l'intervalle ouvert allant de −π/2 à π/2. Si l'angle φ vaut gd(t), alors $\sin \phi =\tanh t\backslash sin\backslash varphi=\backslash tanh\; t$, $\cos \phi =1\mathrm{/}\cosh t\backslash cos\backslash varphi=1/\backslash cosh\; t$ et $\tan \phi =\sinh t\backslash tan\backslash varphi=\backslash sinh\; t$. Ces identités réalisent le lien entre trigonométries circulaire et hyperbolique sans nombres complexes. La fonction intervient notamment dans certains changements de variable, en géométrie hyperbolique et dans la projection de Mercator. Son nom honore Christoph Gudermann (1798–1852).

Quatre éléments structurent la fonction. L'entrée t est un nombre réel. Le cosinus hyperbolique cosh fournit l'intégrande positif 1/cosh(u). L'intégrale accumule cet intégrande de 0 à t. Le résultat φ est un angle exprimé en radians.

La positivité de 1/cosh(u) rend gd strictement croissante. La symétrie de cosh rend gd impaire : changer t en −t change seulement le signe de l'angle. Enfin, l'identité $\cos \phi =1\mathrm{/}\cosh t\backslash cos\backslash varphi=1/\backslash cosh\; t$ relie directement l'entrée hyperbolique au point du cercle unité. Ces données suffisent à calculer l'angle et ses sinus, cosinus et tangente. Le tracé ou l'échelle choisis pour représenter la courbe ne font pas partie de sa définition.

Prenons comme entrée le nombre réel t = ln(3). Les données sont donc e^t = 3 et e^−t = 1/3. Nous cherchons l'angle φ = gd(t), puis ses coordonnées sur le cercle unité.

1. Calculons le sinus hyperbolique : $\sinh t=(3-1\mathrm{/}3)\mathrm{/}2=4\mathrm{/}3\backslash sinh\; t=(3-1/3)/2=4/3$.

2. Calculons le cosinus hyperbolique : $\cosh t=(3+1\mathrm{/}3)\mathrm{/}2=5\mathrm{/}3\backslash cosh\; t=(3+1/3)/2=5/3$.

3. Les identités de Gudermann donnent alors $\sin \phi =4\mathrm{/}5\backslash sin\backslash varphi=4/5$ et $\cos \phi =3\mathrm{/}5\backslash cos\backslash varphi=3/5$. La figure matérialise ces deux rapports sur le cercle unité.

4. L'angle cherché vaut exactement $\phi =\arctan (4\mathrm{/}3)=\mathrm{gd}(\ln 3)\backslash varphi=\backslash arctan(4/3)=\backslash operatorname\{gd\}(\backslash ln\; 3)$, soit environ 0,9273 radian ou 53,13°.

Le contrôle est refaisable avec l'identité du cercle : (3/5)² + (4/5)² = 1. Le point obtenu appartient donc bien au cercle unité, dans le premier quadrant puisque t est positif.

En cartographie de Mercator, la fonction de Gudermann convertit une latitude isométrique réelle en latitude géographique. Pour effectuer la conversion inverse, on emploie sa fonction réciproque plutôt que gd elle-même.

Dans un changement de variable d'intégrale, poser φ = gd(t) transforme la différentielle selon $d\phi =dt\mathrm{/}\cosh td\backslash varphi=dt/\backslash cosh\; t$. Ce choix est utile lorsque l'intégrande contient ce facteur ; sans lui, une substitution plus directe est préférable.

En géométrie hyperbolique, gd traduit un paramètre hyperbolique en angle circulaire. On la choisit lorsque les relations sinus–tangente hyperbolique ou cosinus–cosinus hyperbolique simplifient effectivement le paramétrage.

La fonction de Gudermann et sa réciproque. gd part d'un réel et produit un angle entre −π/2 et π/2. Sa réciproque part d'un angle de cet intervalle et produit un réel. Ainsi, gd(ln 3) donne environ 0,9273 radian, tandis que la réciproque appliquée à cet angle redonne ln 3.

gd et la tangente hyperbolique. Ce sont deux fonctions différentes, même si elles sont reliées. Pour t = ln 3, tanh(t) vaut 4/5, alors que gd(t) vaut environ 0,9273 radian. Le critère qui tranche est la nature du résultat : un rapport hyperbolique pour tanh, un angle pour gd.

La fonction et la projection de Mercator. La fonction de Gudermann effectue une conversion entre une coordonnée réelle et un angle. La projection de Mercator construit une représentation plane du globe hors des pôles, avec une coordonnée verticale non bornée à leur approche ; elle mobilise cette conversion, mais ne se réduit pas à elle.

Les bornes ne sont jamais atteintes. Quand t tend vers +∞, gd(t) tend vers π/2 ; quand t tend vers −∞, elle tend vers −π/2. Une valeur réelle finie de t ne donne donc jamais exactement ±90°. Remplacer une valeur très proche par la borne ferait disparaître cette distinction.

Les formules donnent des radians. L'expression avec arctan produit naturellement φ en radians. Pour t = ln 3, le résultat est environ 0,9273 radian, soit environ 53,13° ; ces deux nombres ne peuvent pas être substitués l'un à l'autre sans conversion.

Une approximation n'est pas une identité. L'égalité exacte est φ = arctan(4/3) dans l'exemple. Les valeurs 0,9273 et 53,13° sont arrondies. Pour contrôler un calcul, il faut comparer avec une tolérance cohérente avec le nombre de décimales conservé.

La fiche fonction hyperbolique situe cosh, sinh et tanh, les trois fonctions qui apparaissent dans les identités de Gudermann.

La fiche projection de Mercator replace la conversion entre latitude géographique et latitude isométrique dans la construction cartographique.

L'article La projection de Mercator prolonge l'usage cartographique par une présentation d'ensemble de cette projection.