GéométrieObjet géométrique · Glossaire
grade - angle -
Le grade, également appelé gradian ou degré centésimal, est une unité de mesure des angles. Son symbole normalisé est gon. Dans ce système, un angle droit vaut 100 gon et un tour complet vaut 400 gon, ce qui facilite certains calculs topographiques en raison du lien direct avec le système décimal. Le grade entretient un lien historique avec le mètre : dans la définition historique du mètre à partir du méridien terrestre, un mètre correspond à un angle de 10⁻⁵ gon au centre de la Terre. Le grade reste l'unité légale en topographie en France et figure encore sur certaines cartes. Son principal inconvénient est que les angles de 30° et 60° valent respectivement 100/3 gon et 200/3 gon : ils ne correspondent donc pas à un nombre entier de gons.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le grade, ses synonymes et son symbole gon.
- Relier 400 gon à un tour complet et 100 gon à un angle droit.
- Convertir une mesure en gon vers les degrés avec un exemple contrôlé.
- Repérer pourquoi 30° et 60° produisent des valeurs non entières en gon.
En clair
Imaginez un tour complet partagé en 400 parts égales. Une de ces parts vaut un grade, et l'unité s'écrit gon. Un quart de tour, donc un angle droit, compte exactement 100 gon.
Ce découpage décimal rend les portions de tour faciles à lire : un demi-tour vaut 200 gon et un huitième de tour 50 gon. Le grade est aussi nommé gradian ou degré centésimal.
Définition
Le grade est une unité de mesure des angles, aussi appelée gradian ou degré centésimal. Son symbole normalisé est gon. L'unité repose sur une partition du tour complet en 400 parts égales : le tour vaut 400 gon, le demi-tour 200 gon et l'angle droit 100 gon.
Pour convertir une mesure exprimée en grades, on part de l'égalité entre un tour de 400 gon et un tour de 360°. Si la mesure en grades est notée g et la mesure en degrés d, leur relation est . Réciproquement, .
Ce partage par 400 est adapté aux calculs décimaux employés en topographie. En France, le grade reste l'unité légale dans ce domaine et apparaît encore sur certaines cartes. Son lien historique avec le mètre vient de la définition de celui-ci par le méridien terrestre : un mètre correspond alors à un angle de 10−5 gon au centre de la Terre. En revanche, les angles de 30° et 60° valent respectivement 100/3 gon et 200/3 gon : ils ne correspondent donc pas à un nombre entier de gons.
De quoi c'est fait
Une mesure en grades associe quatre éléments. L'angle est la grandeur mesurée. Le tour complet fournit le repère commun et vaut 400 gon. La part élémentaire est le quatre-centième de ce tour. Enfin, le symbole gon indique que la valeur utilise ce partage, et non les 360 parts du degré.
La valeur dépend donc à la fois de l'ouverture de l'angle et de l'unité choisie. Le repère de 400 parts impose qu'un quart de tour en compte 100. L'orientation ou la longueur des segments dessinés ne change pas cette mesure : seule leur ouverture intervient. Ces données suffisent à lire une mesure en gon et à la convertir en degrés.
Un exemple, pas à pas
Une direction forme un angle de 50 gon avec une direction de référence. On veut exprimer la même ouverture en degrés. Les données sont la mesure 50 gon, le tour complet 400 gon et son équivalent 360°. La figure matérialise la même ouverture dans les deux unités.
1. Le rapport entre les deux tours donne 360 ÷ 400 = 0,9 degré par gon.
2. On multiplie la mesure donnée par ce rapport : 50 × 0,9 = 45.
3. L'angle mesure donc 45°.
2. On multiplie la mesure donnée par ce rapport : 50 × 0,9 = 45.
3. L'angle mesure donc 45°.
Le contrôle utilise les fractions de tour. Cinquante gons représentent 50 ÷ 400 = 1/8 de tour. De même, 45° représentent 45 ÷ 360 = 1/8 de tour. Les deux mesures décrivent bien la même ouverture.
En pratique
En topographie, on lit ou reporte directement les angles en gon. Le grade est préféré lorsque le calcul s'organise autour du système décimal : un angle droit vaut alors 100 gon et un tour 400 gon.
Pour une figure où interviennent souvent 30° ou 60°, le degré est généralement plus commode, car ces valeurs y restent entières. Si une carte donne une mesure en gon, la conversion en degrés consiste à multiplier cette mesure par 0,9.
À ne pas confondre
Le grade et le degré mesurent tous deux un angle, mais ils ne découpent pas le tour de la même manière. Le critère immédiat est le symbole et la valeur du tour : 400 gon pour le grade, 360° pour le degré. Ainsi, un angle droit s'écrit 100 gon ou 90° ; une même valeur numérique ne représente donc pas la même ouverture dans les deux unités.
Limites et pièges
Les tiers d'angle droit constituent le principal piège. Un angle de 30° vaut 33,333… gon et un angle de 60° vaut 66,666… gon. Le symptôme est une suite décimale sans fin : arrondir trop tôt fait perdre l'égalité exacte. Il faut conserver la fraction 100/3 gon ou 200/3 gon pendant le calcul, puis arrondir seulement le résultat final si le contexte l'exige.
Une autre erreur consiste à traiter 50 gon comme 50° parce que les deux nombres semblent proches. Le contrôle par le tour tranche : 50 gon valent un huitième de 400 gon, donc 45° et non 50°. Avant tout calcul, il faut relever le symbole de l'unité.
Pour aller plus loin
Le radian présente une autre unité d'angle et permet de situer le grade parmi les différentes manières de mesurer une ouverture.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres