Histoire et cultureNotion · Glossaire
Eratosthène de Cyrène
Ératosthène de Cyrène est un savant grec connu pour une méthode géométrique d’estimation de la circonférence terrestre et pour le crible qui porte son nom, un algorithme qui repère les nombres premiers. Sa mesure de la Terre compare, au même moment, les angles formés par les rayons solaires avec la verticale en deux lieux supposés sur le même méridien, en admettant que la Terre est sphérique et les rayons du Soleil parallèles. L’écart angulaire donne la fraction de tour séparant les lieux : leur distance permet alors d’estimer la circonférence.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Ératosthène dans l’Alexandrie du IIIe siècle av. J.-C. et identifier ses domaines de travail.
- Refaire le passage de 7°12′ et 5 000 stades à une circonférence d’environ 250 000 stades.
- Repérer les hypothèses géométriques qui rendent le calcul possible et les approximations qui en limitent la précision.
- Relier Ératosthène à la cartographie par méridiens et parallèles, au calendrier et au crible des nombres premiers.
- Distinguer la mesure terrestre du crible arithmétique et la circonférence du diamètre.
En clair
Au IIIe siècle av. J.-C., Ératosthène travaille à Alexandrie et dirige sa célèbre bibliothèque. À midi au solstice d’été, il compare l’absence d’ombre à Syène, l’actuelle Assouan, avec l’ombre observée à Alexandrie.
L’écart angulaire vaut environ 7°12′, soit un cinquantième d’un tour. Si la distance entre les villes représente elle aussi un cinquantième du tour terrestre, il suffit de la multiplier par 50. Cette idée géométrique donne environ 250 000 stades pour la circonférence de la Terre.
Définition
Ératosthène de Cyrène est un savant grec né vers 284 av. J.-C. et mort vers 192 av. J.-C. Mathématicien, astronome, géographe, poète et philosophe, il étudie au Musée d’Alexandrie, où il fréquente Archimède, séjourne à Athènes, puis dirige la Bibliothèque d’Alexandrie. Cette fonction lui donne accès à une documentation exceptionnellement riche pour l’Antiquité.
Sa mesure de la Terre repose sur sa sphéricité, sur des rayons solaires supposés parallèles et sur Syène et Alexandrie considérées sur un même méridien. À Syène, le Soleil est pris à la verticale à midi au solstice d’été ; à Alexandrie, l’ombre donne un angle d’environ 7°12′. Or . La distance entre les deux villes étant estimée à 5 000 stades, la circonférence obtenue est d’environ 250 000 stades.
Ératosthène construit aussi une carte du monde connu à l’aide de méridiens et de parallèles, selon une projection cylindrique orthogonale. On lui attribue un calendrier proche du calendrier julien et le crible d’Ératosthène, algorithme qui engendre les nombres premiers en éliminant méthodiquement les multiples.
Un exemple, pas à pas
Données. L’angle observé à Alexandrie est d’environ 7°12′. La distance estimée de Syène à Alexandrie est d’environ 5 000 stades. Un tour complet mesure 360°.
1. Convertissons les minutes d’angle : 12′ représentent 12/60 de degré, soit 0,2°. L’angle vaut donc environ 7,2°.
2. Calculons la part du tour : . L’arc entre les deux villes représente environ un cinquantième de la circonférence terrestre.
3. La circonférence cherchée, notée C, s’obtient en multipliant la distance par 50 : . Le symbole ≈ rappelle que l’angle et la distance sont estimés.
4. Le résultat annoncé est donc une circonférence d’environ 250 000 stades, présentée dans la source comme remarquablement proche des quelque 40 000 km mesurés aujourd’hui. Les deux nombres ne se comparent qu’après avoir fixé la longueur du stade employé.
Contrôle. Un cinquantième de 250 000 vaut bien 5 000. La construction géométrique rend visible pourquoi l’angle entre les deux villes et celui mesuré par l’ombre ont la même valeur sous les hypothèses retenues.
En pratique
Pour refaire le raisonnement terrestre, on relève un angle d’ombre à une date et une heure déterminées, puis on l’associe à une distance mesurée dans la direction du méridien. Si les lieux ou les instants ne correspondent pas au cadre géométrique, il faut corriger le modèle avant de multiplier.
Pour dresser une carte, le système de méridiens et de parallèles fournit des repères communs. Une simple distance terrestre ne suffit pas à situer un lieu : il faut deux coordonnées dans ce réseau.
Pour lister les nombres premiers jusqu’à une borne choisie, le crible d’Ératosthène élimine les multiples des premiers nombres rencontrés. Pour mesurer la Terre, ce crible n’est d’aucune aide : c’est la géométrie des angles et des distances qui convient.
À ne pas confondre
Circonférence et diamètre de la Terre. La circonférence est la longueur d’un tour complet ; le diamètre traverse le globe par son centre. Dans le calcul d’Ératosthène, 5 000 stades sont multipliés par 50 pour obtenir un tour, pas un diamètre.
Mesurer une Terre supposée sphérique et démontrer sa sphéricité. La méthode décrite part de la sphéricité pour relier l’angle au sol à une fraction du tour. L’accord du calcul avec une circonférence ne constitue donc pas, à lui seul, une preuve indépendante de cette hypothèse.
Mesure terrestre et crible arithmétique. La première combine un angle et une distance ; le second élimine des multiples pour produire des nombres premiers. Le nom d’Ératosthène relie ces deux travaux, mais leurs données et leurs opérations sont différentes.
Limites et pièges
Des données approchées donnent un résultat approché. L’angle est annoncé à environ 7°12′ et la distance à environ 5 000 stades. Écrire 250 000 stades sans signaler l’approximation ferait croire à une précision que les données initiales ne possèdent pas.
Le cinquantième dépend de 7°12′. Comme 7°12′ vaut 7,2° et que 360/7,2 = 50, l’arc représente 1/50 du tour. Avec un autre angle, il faut recalculer le rapport au lieu de conserver automatiquement le facteur 50.
Les hypothèses géométriques comptent. Le parallèle des rayons solaires et l’alignement des villes sur un même méridien permettent d’identifier l’angle de l’ombre à l’angle au centre. Si ces conditions ne sont pas assez bien satisfaites, la construction idéale doit être corrigée.
Le stade n’est pas le kilomètre. Le résultat antique est exprimé en stades, tandis que la valeur moderne citée est d’environ 40 000 km. Une comparaison numérique exige donc une conversion explicite de l’unité antique ; juxtaposer 250 000 et 40 000 ne suffit pas.
Pour aller plus loin
circonférence de la Terre — Prolonge la mesure géométrique au cœur du raisonnement d’Ératosthène.
nombre premier — Précise les entiers que le crible d’Ératosthène permet de faire apparaître.
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