ArithmétiqueNotion · Glossaire
Nombres de Liouville
Les nombres de Liouville sont des nombres réels construits spécifiquement pour être transcendants, c'est-à-dire qu'ils ne sont racines d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Un nombre réel alpha est de Liouville s'il est approximé arbitrairement bien par des rationnels : pour tout entier positif n, il existe p, q ∈ ℤ avec q ≥ 2, p/q distinct de alpha et |alpha - p/q| inférieur à 1/q^n. Liouville a montré en 1844 que, pour tout nombre algébrique alpha de degré d ≥ 2, il existe une constante c > 0, dépendant de alpha, telle que |alpha - p/q| > c/q^d pour toute fraction p/q distincte de alpha. Les nombres de Liouville sont les premiers exemples explicites de nombres transcendants.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir un nombre de Liouville avec tous ses quantificateurs et conditions.
- Construire une approximation rationnelle de la constante de Liouville.
- Vérifier une borne d’erreur avec le dénominateur annoncé.
- Relier l’approximation arbitrairement rapide à la transcendance.
- Distinguer nombre irrationnel, transcendant et nombre de Liouville.
En clair
Écrivez 0,110001, puis placez le prochain chiffre 1 à la 24e décimale. Les six premiers chiffres donnent la fraction 110001/1000000. Pourtant, la différence avec le nombre complet est déjà inférieure à deux millionièmes de milliardième de milliardième.
Un nombre de Liouville pousse ce phénomène sans limite : quel que soit le degré de précision exigé, une fraction convient avec une erreur plus petite qu’une puissance prescrite de son dénominateur. Cette approximation exceptionnellement rapide force le nombre à être transcendant.
Définition
Soit α un nombre réel. On dit que α est un nombre de Liouville si, pour tout entier positif n, il existe des entiers p et q, avec q au moins égal à 2, tels que la fraction p/q soit distincte de α et vérifie :
Le numérateur p et le dénominateur q peuvent changer lorsque n change. La condition exige donc des approximations d’ordres arbitrairement élevés, et non une seule fraction très précise.
Un nombre algébrique est la racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers. Le résultat établi par Liouville en 1844 dit que, si α est algébrique de degré d au moins égal à 2, il existe une constante positive c, dépendant de α, telle que toute fraction p/q distincte de α vérifie :
Un nombre de Liouville contredit cette borne en choisissant des exposants n aussi grands que nécessaire. Il ne peut donc être algébrique : il est transcendant.
La constante de Liouville fournit un modèle explicite. Elle est la somme des nombres 10−k! lorsque l’entier k parcourt 1, 2, 3, etc. Ses chiffres 1 occupent les positions décimales 1!, 2!, 3!, 4!, soit 1, 2, 6, 24, puis des positions de plus en plus éloignées.
Un exemple, pas à pas
Considérons la constante de Liouville, notée L. Elle s’obtient en additionnant 10−k! pour les entiers k à partir de 1. Pour la troisième troncature, les données sont les positions 1!, 2! et 3!, égales à 1, 2 et 6, puis la position suivante 4! = 24.
1. Additionnons les trois premiers termes : .
2. Écrivons cette décimale comme une fraction. On obtient . Son dénominateur choisi est donc q = 106.
3. Le premier terme omis vaut 10−24. Tous les suivants sont encore plus petits, d’où le contrôle . La figure relie les positions factorielles à cette borne.
4. Pour l’exposant n = 3, le seuil demandé vaut . Ainsi, . Le même raisonnement avec une troncature plus lointaine fournit des puissances arbitrairement élevées : c’est le mécanisme de Liouville.
En pratique
Pour construire un transcendant explicite. On espace les chiffres non nuls aux positions factorielles. Les troncatures sont des fractions, tandis que la première décimale omise recule assez vite pour dépasser toute puissance fixée du dénominateur.
Pour démontrer la transcendance par le critère de Liouville. Il faut exhiber, pour chaque entier positif n, une fraction p/q distincte du réel étudié et vérifier une erreur strictement inférieure à 1/qn. Une approximation numérique isolée ne suffit pas.
Pour choisir l’outil adapté. Le critère de Liouville convient lorsqu’une construction fournit des approximations extraordinairement rapides. Pour un nombre transcendant qui ne possède pas cette propriété, il faut une autre preuve de transcendance.
À ne pas confondre
Nombre de Liouville et nombre irrationnel. Un irrationnel n’est égal à aucune fraction. Un nombre de Liouville satisfait en plus des inégalités d’approximation pour tout entier positif n. L’irrationalité seule ne donne pas cette vitesse.
Nombre de Liouville et nombre transcendant. Tout nombre de Liouville est transcendant, mais la réciproque est fausse. Le critère qui tranche est que, pour chaque entier positif n, il existe p ∈ ℤ et q ∈ ℤ avec q ≥ 2, p/q distinct de alpha et une erreur |alpha − p/q| inférieure à 1/qn.
Nombres de Liouville et constante de Liouville. Les premiers forment une classe définie par une propriété d’approximation. La seconde est l’exemple particulier dont les chiffres 1 apparaissent aux positions factorielles.
Limites et pièges
La fraction doit être distincte du nombre. Sans la condition d’erreur strictement positive, tout rationnel α satisferait artificiellement les inégalités en prenant p/q = α. Il faut conserver .
Le quantificateur porte sur tous les exposants. Trouver une approximation avec n = 3, comme dans l’exemple, ne prouve pas encore la propriété. Il faut construire une famille de fractions qui fonctionne pour chaque entier positif n.
Le dénominateur doit grandir. Le symbole q désigne un entier au moins égal à 2 et peut dépendre de n. Garder une fraction fixe ne produit pas des erreurs arbitrairement petites ; les troncatures de la constante utilisent des dénominateurs 10m! de plus en plus grands.
La borne algébrique contient une constante. Pour un nombre algébrique α de degré d au moins égal à 2, la formulation précise compare l’erreur à c/qd, avec une constante positive c dépendant de α. Omettre c transforme une limite asymptotique en seuil universel injustifié.
Pour aller plus loin
Le glossaire nombre transcendant replace les nombres de Liouville dans la classe plus large des réels qui ne sont racines d’aucun polynôme entier non nul.
L’entrée Fraction continue présente un autre cadre pour étudier comment des fractions approchent un nombre réel.
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