nombre de Liouville

Écrivez 0,110001, puis placez le prochain chiffre 1 très loin, à la 24^e décimale. En répétant ce geste aux positions 1!, 2!, 3!, 4! et ainsi de suite, on construit la constante de Liouville.

Ses décimales connues donnent des fractions qui l'approchent avec une précision démesurée par rapport à leur dénominateur. Quel que soit le niveau de précision demandé, une fraction finit par satisfaire ce défi. C'est cette aptitude sans limite qui fait d'un réel un nombre de Liouville.

Un nombre de Liouville est un nombre réel, noté x, qui possède des approximations rationnelles exceptionnellement fines. Pour chaque entier positif n, il faut pouvoir trouver des entiers p et q, avec q strictement supérieur à 1, tels que la fraction p/q soit différente de x et vérifie : . La fraction peut changer lorsque n change.

Joseph Liouville a démontré en 1844 que tout réel qui remplit cette condition est transcendant. La propriété de Liouville est donc un critère suffisant de transcendance. La forme décimale à positions factorielles donnée dans la source fournit une construction : les chiffres a_k, choisis de 0 à 9 et non finalement nuls, sont placés au rang k!.

Le choix a_k = 1 pour tout k donne la constante de Liouville : $c={\sum }_{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{10}^{-k!}c=\backslash sum\_\{k=1\}^\{+\backslash infty\}10^\{-k!\}$. Elle constitue le premier exemple explicite dont Liouville a prouvé la transcendance.

Prenons la constante c. Les trois premiers exposants factoriels sont 1! = 1, 2! = 2 et 3! = 6. Le terme suivant se place au rang 4! = 24.

1. Additionnez les trois premiers termes : ${10}^{-1}+{10}^{-2}+{10}^{-6}=\mathrm{0,110001}10^\{-1\}+10^\{-2\}+10^\{-6\}=0\{,\}110001$.

2. Écrivez cette troncature sous forme rationnelle : p/q = 110001/1 000 000. Ainsi, q = 10⁶.

3. L'écart avec c est la somme des termes restants. Le premier vaut 10⁻²⁴, puis les autres sont encore plus petits ; on obtient donc .

4. Pour n = 3, le seuil demandé est 1/q³ = 10⁻¹⁸. Comme 2 × 10⁻²⁴ < 10⁻¹⁸, cette fraction réussit le contrôle. Des troncatures plus lointaines permettent de recommencer pour tout entier positif n.

Pour construire un exemple explicite, on place des chiffres non nuls à des rangs factoriels. Les longues plages de zéros font apparaître des troncatures rationnelles dont l'erreur chute beaucoup plus vite que leur dénominateur ne grandit.

Pour tester une approximation proposée, on relève p, q et l'entier n, puis on compare l'écart |x − p/q| au seuil 1/qⁿ. Une seule réussite ne suffit pas : la propriété exige de pouvoir recommencer pour chaque entier positif n.

Pour établir la transcendance par ce critère, il faut démontrer toute cette suite d'approximations. Une simple observation de nombreuses décimales ne remplace pas la preuve.

Approximation et égalité rationnelle. La condition impose 0 < |x − p/q| : la fraction doit approcher x sans lui être égale. Pour x = 1/3 et p/q = 1/3, l'écart nul échoue immédiatement.

Nombre transcendant et nombre de Liouville. « Transcendant » est la conclusion du théorème de Liouville ; « nombre de Liouville » nomme la propriété d'approximation qui permet ici d'obtenir cette conclusion. Le test porte donc sur les fractions p/q et sur tous les entiers positifs n.

Un exposant isolé ne suffit pas. Trouver une fraction avec une erreur inférieure à 1/q³ vérifie seulement le cas n = 3. Il faut une construction valable pour chaque entier positif n.

La fraction dépend du niveau demandé. La définition n'exige pas un unique couple p, q qui fonctionnerait pour tous les exposants. Pour la constante c, on allonge la troncature lorsque n augmente.

Le strictement positif est décisif. Une égalité x = p/q donne une erreur nulle et ne satisfait pas 0 < |x − p/q|, même si zéro est inférieur au seuil supérieur.

La série factorielle est une construction particulière. Elle rend visibles des approximations très fines. La condition portant sur p/q pour tout n reste le critère général à vérifier.

Le glossaire nombre transcendant précise la conclusion obtenue grâce au critère de Liouville.

L'article En route vers la transcendance replace cette preuve dans un parcours consacré à la transcendance.

Un résultat de Paul Erdős prolonge encore la notion : tout réel peut s'écrire comme somme de deux nombres de Liouville, et tout réel non nul comme produit de deux nombres de Liouville.