Indicatrice (fonction)

Imaginez les six résultats d’un dé. On entoure les résultats pairs : 2, 4 et 6. La fonction indicatrice agit alors comme un voyant. Elle affiche 1 quand le résultat observé est dans la zone entourée, et 0 dans les autres cas.

Ce codage transforme donc une question d’appartenance — « le résultat est-il pair ? » — en une valeur numérique. On peut ensuite compter, additionner ou intégrer ces valeurs.

Soit un ensemble ambiant E et une partie A de E. La fonction indicatrice de A est la fonction définie sur E, à valeurs dans {0, 1}, qui associe 1 à chaque élément de A et 0 à chaque élément de E qui n’appartient pas à A. On la note couramment 1_A, ou parfois χ_A. Sa définition complète est :

En théorie de la mesure, lorsque A est mesurable pour la mesure μ, l’indicatrice 1_A est mesurable et son intégrale vaut μ(A). En probabilités, si A est un événement, l’indicatrice enregistre sa réalisation et son espérance vaut sa probabilité. Une fonction étagée est une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices ; ces fonctions servent ensuite à construire l’intégrale de Lebesgue. Le nom « fonction caractéristique » est aussi employé pour l’indicatrice, mais il peut désigner une autre fonction en probabilités.

Cinq éléments organisent une fonction indicatrice. L’ensemble E fixe le domaine dans lequel varie l’élément x. La partie A sélectionne les éléments auxquels sera attribuée la valeur 1. Le complémentaire de A dans E rassemble ceux auxquels sera attribuée la valeur 0. L’ensemble {0, 1} est l’ensemble d’arrivée. Enfin, la règle d’appartenance relie chaque x à une seule de ces deux valeurs.

Le choix de A dépend donc du domaine E, puisque A doit être une partie de E. La valeur obtenue dépend ensuite de la réponse à la question « x appartient-il à A ? ». Ces données suffisent à construire toute la fonction. Sa couleur, son tracé ou l’ordre dans lequel on examine les éléments ne font pas partie de sa définition.

On lance un dé équilibré à six faces. L’ensemble des résultats est E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, et A = {2, 4, 6} est l’événement « obtenir un nombre pair ». La représentation associe chaque résultat à la valeur de l’indicatrice.

Étape 1. Pour le résultat 4, on constate que 4 appartient à A. La fonction donne donc 1_A(4) = 1.

Étape 2. Pour le résultat 5, on constate que 5 n’appartient pas à A. La fonction donne donc 1_A(5) = 0.

Étape 3. Sur les six résultats, les valeurs sont successivement 0, 1, 0, 1, 0 et 1. Leur somme vaut exactement 3, soit le nombre d’éléments de A.

Contrôle. Comme trois faces sur six sont paires et que le dé est équilibré, la probabilité de A vaut 3/6 = 1/2. L’espérance de l’indicatrice vaut aussi 1/2 : les trois valeurs 1 ont chacune la probabilité 1/6.

Pour compter les éléments d’une partie finie, on additionne son indicatrice sur l’ensemble ambiant. Dans l’exemple du dé, la somme vaut 3. Une liste explicite des éléments reste préférable si l’on veut connaître lesquels sont sélectionnés, et pas seulement leur nombre.

En probabilités, on remplace la question « l’événement a-t-il eu lieu ? » par une variable qui vaut 1 ou 0. L’indicatrice est adaptée quand chaque issue doit seulement être classée en succès ou échec ; une variable à plusieurs valeurs convient mieux si l’on doit conserver le résultat obtenu.

Pour une fonction définie sur un ensemble ambiant, lorsque A est mesurable et que l’intégrale considérée est définie, on peut intégrer sur A en multipliant cette fonction par 1_A : le produit annule ses valeurs hors de A. Cette écriture permet de conserver le même ensemble ambiant.

La fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Malgré le nom parfois commun, elle ne teste pas l’appartenance à un ensemble. Elle associe à chaque nombre réel une valeur généralement complexe qui décrit la loi de la variable. Si les valeurs ne sont pas toujours 0 ou 1, il ne s’agit donc pas d’une indicatrice.

Partie vide ou partie totale. Si A = ∅, l’indicatrice vaut 0 partout. Si A = E, elle vaut 1 partout. Ces deux cas dégénérés restent de véritables fonctions indicatrices ; il ne faut pas exiger qu’elles prennent effectivement les deux valeurs.

Mesurabilité nécessaire. Dans un espace mesuré, l’identité entre l’intégrale de 1_A et μ(A) suppose que A soit mesurable. Si A n’appartient pas à la tribu choisie, la mesure μ(A) et l’intégrale de Lebesgue correspondante ne sont pas définies dans ce cadre.

Même intégrale, fonctions différentes. Deux parties qui ne diffèrent que sur un ensemble de mesure nulle ont des indicatrices égales presque partout et la même intégrale. Elles ne sont pourtant pas nécessairement égales en chaque point ; il faut examiner l’appartenance ponctuelle si cette distinction compte.

tribu : précise quelles parties d’un ensemble sont mesurables et peuvent donc posséder une indicatrice mesurable.

intégrale de Lebesgue : montre comment les indicatrices puis les fonctions étagées servent à construire une théorie de l’intégration.

fonction caractéristique : aide à distinguer l’indicatrice de la fonction associée à la loi d’une variable aléatoire.