AnalyseNotion · Glossaire
Sens de variation
Le sens de variation d'une fonction sur un intervalle décrit si la fonction est croissante, décroissante ou constante sur cet intervalle. Une fonction est croissante si pour tout x1 < x2 dans l'intervalle, on a f(x1) ≤ f(x2) (strictement croissante si l'inégalité est stricte). Lorsque f est dérivable sur l'intérieur de l'intervalle et continue aux éventuelles bornes incluses, elle est croissante si f' ≥ 0 et décroissante si f' ≤ 0 ; les conditions f' > 0 et f' < 0 suffisent respectivement à établir la stricte croissance et la stricte décroissance. Le tableau de variation résume de manière synthétique le sens de variation d'une fonction.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer croissance, décroissance, constance et monotonie stricte.
- Déterminer des intervalles de variation à partir du signe de la dérivée.
- Refaire l'étude complète de x² − 4x + 3 sur [0, 4].
- Éviter de confondre signe de la fonction, signe de la dérivée et sens de variation.
En clair
Imaginons que l'on fasse avancer un curseur de 0 à 4 sur l'axe horizontal d'une courbe. Si la hauteur de la courbe baisse sans jamais remonter, la fonction est décroissante sur le trajet. Si elle monte sans jamais redescendre, elle est croissante. Une portion horizontale correspond à une fonction constante.
Le sens de variation ne décrit donc pas la position de la courbe, mais l'évolution de ses valeurs quand l'entrée augmente. Une même fonction peut descendre sur un intervalle, atteindre un minimum, puis monter sur un autre.
Définition
Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Elle est croissante sur I lorsque l'ordre des entrées est conservé : pour deux nombres x1 et x2 de I, si x1 est inférieur à x2, alors la valeur f(x1) est inférieure ou égale à f(x2). Elle est décroissante lorsque cet ordre est inversé. Ces deux conditions s'écrivent : pour la croissance, et pour la décroissance.
La croissance ou la décroissance est dite stricte lorsque l'inégalité entre les valeurs l'est pour chaque paire x1 < x2. Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante au sens large, mais elle n'est ni strictement croissante ni strictement décroissante. Le mot monotone indique qu'une fonction garde un seul sens de variation sur l'intervalle considéré.
Lorsque f est dérivable sur l'intérieur de I et continue aux éventuelles bornes incluses, le signe de sa dérivée donne un critère pratique. Si f' est positive ou nulle partout, f est croissante ; si f' est négative ou nulle partout, f est décroissante. Une dérivée strictement positive partout suffit à établir la stricte croissance, et une dérivée strictement négative suffit à établir la stricte décroissance. Ces conditions ne sont toutefois pas nécessaires.
Un exemple, pas à pas
On étudie la fonction f définie sur l'intervalle [0, 4] par .
Données : l'intervalle va de 0 à 4 ; la dérivée de f est ; elle s'annule pour x = 2.
Données : l'intervalle va de 0 à 4 ; la dérivée de f est ; elle s'annule pour x = 2.
1. Pour 0 ≤ x < 2, la quantité 2x − 4 est négative : f est strictement décroissante sur [0, 2].
2. Pour 2 < x ≤ 4, la quantité 2x − 4 est positive : f est strictement croissante sur [2, 4].
3. Aux points charnières, f(0) = 3, f(2) = −1 et f(4) = 3.
4. Le tableau de variations descend donc de 3 à −1, puis remonte de −1 à 3.
2. Pour 2 < x ≤ 4, la quantité 2x − 4 est positive : f est strictement croissante sur [2, 4].
3. Aux points charnières, f(0) = 3, f(2) = −1 et f(4) = 3.
4. Le tableau de variations descend donc de 3 à −1, puis remonte de −1 à 3.
Le résultat se contrôle en écrivant . Le carré est minimal lorsque x = 2, ce qui confirme la valeur minimale −1 et le changement de sens à cet endroit. La courbe rend visibles ces deux phases sans remplacer le contrôle par le signe de la dérivée.
En pratique
Pour dresser un tableau de variations, on cherche les intervalles où la dérivée garde un signe. Ce calcul est préférable à une simple lecture graphique lorsque la formule de la fonction est connue, car il fournit une justification exacte.
Pour comparer deux valeurs sans les calculer, on utilise la monotonie sur l'intervalle qui contient leurs entrées. Si f est croissante et si a < b, alors f(a) ≤ f(b) ; si f est décroissante, l'inégalité s'inverse.
Pour repérer un extremum, on observe un changement de sens. Dans l'exemple, la décroissance avant 2 puis la croissance après 2 montrent un minimum en x = 2. Une dérivée nulle sans changement de signe ne suffit pas à conclure.
À ne pas confondre
Sens de variation et signe de la fonction. Une fonction peut être croissante tout en restant négative. Par exemple, une courbe qui monte de −3 à −1 est croissante ; ce sont les comparaisons entre valeurs successives, et non leur signe, qui tranchent.
Sens de variation et signe de la dérivée. Le premier décrit l'évolution de f, tandis que le second est un outil pour l'établir lorsque f est dérivable. Pour la fonction de l'exemple, f est parfois positive alors que sa dérivée est négative.
Monotonie et extremum. La monotonie concerne tout un intervalle ; un extremum est une valeur remarquable en un point ou sur un domaine. Dans l'exemple, f n'est pas monotone sur [0, 4], mais elle y possède un minimum en x = 2.
Limites et pièges
Une dérivée nulle en un point ne fixe pas le sens. Le symptôme est un point critique isolé, comme x = 2 dans l'exemple. Il faut étudier le signe de la dérivée de part et d'autre : ici, son passage de négatif à positif signale un minimum.
Le graphique seul peut tromper. Une fenêtre trop petite ou une échelle écrasée peut faire paraître constante une fonction qui varie. Lorsque la formule est disponible, il faut revenir aux comparaisons de valeurs ou au signe de la dérivée.
Le domaine ne doit pas être oublié. Une conclusion vaut sur l'intervalle étudié, pas automatiquement ailleurs. La fonction de l'exemple décroît sur [0, 2] et croît sur [2, 4] ; elle n'a donc pas un sens unique sur [0, 4].
Stricte croissance ne signifie pas dérivée partout strictement positive. Une dérivée peut s'annuler en un point sans créer de palier. Pour conclure, il faut examiner la fonction sur tout l'intervalle plutôt que transformer une condition suffisante en condition nécessaire.
Pour aller plus loin
tableau de variations. Ce support organise les intervalles de monotonie et les valeurs charnières dans une lecture synthétique.
Extremum. Cette notion prolonge l'étude des changements de sens en précisant ce qu'est une valeur maximale ou minimale.
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