Pour étudier une série numérique, on part d’une suite (un)n≥0 de nombres (réels ou complexes). La suite converge vers une limite L si, pour tout nombre ε, aussi petit soit-il, il existe un rang N au-delà duquel la différence |un – L| est plus petite que ε.
De la suite à la série convergente
Pour la convergence d’une série, on applique le même principe. On définit la suite des sommes partielles et on regarde si elle converge vers une limite S, qui, si elle existe, est précisément la somme de la série.
Une condition nécessaire de convergence de la série Σ un est que le terme général un tende vers 0, mais la condition n’est pas suffisante. L’exemple le plus classique est celui de la série harmonique Σ 1/n, qui diverge, ses sommes partielles tendant vers l’infini.
Il se peut cependant qu’une série à termes positifs diverge, mais qu’une série composée des mêmes termes, précédés de signes différents (+ et –) puisse converger. C’est, par exemple, le cas des séries alternées (les signes + et – alternent, et la valeur absolue de la suite est décroissante). Pour de telles suites, quand le terme général un tend vers 0, même si la série Σ un diverge, la série alternée Σ (‒1)nun converge. La plus connue est la série harmonique alternée Σ (‒1)n/n*, dont il sera beaucoup question dans ce dossier.
