GéométrieNotion · Glossaire
strophoïde
La strophoïde est une courbe plane définie par une équation polaire de la forme r = −a·cos(2t − k)/cos(t), où k appartient à l'intervalle [0 ; π/2[. Lorsque k = 0, on obtient la strophoïde droite, également connue sous le nom de courbe de Roberval ou strophoïde de Newton. La strophoïde droite possède la propriété remarquable d'être aussi la cissoïde d'un cercle, ce qui la relie à une autre famille de courbes classiques de la géométrie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le rôle de r, t, a et k dans l’équation polaire.
- Calculer et contrôler un point de la strophoïde droite.
- Repérer le point double, l’asymptote et les valeurs exclues.
- Relier le cas k = 0 aux noms courbe de Roberval, strophoïde de Newton et cissoïde d’un cercle.
En clair
Imaginez un point qui tourne autour d’une origine. À chaque angle, une règle lui attribue une distance signée : le point peut donc se placer dans la direction visée ou dans la direction opposée. L’ensemble des positions dessine une strophoïde.
Dans le cas droit, la courbe forme une boucle d’un côté de l’origine et deux branches de l’autre. Ces branches se rapprochent d’une même droite sans la rejoindre à distance finie.
Définition
Une strophoïde est une courbe plane décrite en coordonnées polaires. Le réel t désigne l’angle polaire, r la distance signée à l’origine, a un paramètre d’échelle et d’orientation, et k un paramètre de forme. Ils sont liés par , avec . Cette écriture directe exige cos(t) ≠ 0. Aux angles exclus, la courbe peut néanmoins posséder une branche décrite par passage à la limite.
Pour obtenir les coordonnées cartésiennes du point, on utilise . Lorsque k vaut 0 et a est non nul, la strophoïde est dite droite. Elle est aussi appelée courbe de Roberval ou strophoïde de Newton. Son équation cartésienne se déduit de la formule polaire : . Cette courbe est également la cissoïde d’un cercle.
Le signe de r fait partie du repérage polaire : une valeur négative place le point dans la direction opposée à l’angle t. Si a vaut 0, la représentation se réduit à l’origine pour les angles où la formule est définie ; elle ne donne plus la strophoïde non dégénérée habituellement étudiée.
Un exemple, pas à pas
Prenons la strophoïde droite de paramètre a = 2. Les données sont k = 0 et l’angle t = π/3. Nous cherchons le point correspondant, puis nous contrôlerons qu’il appartient bien à la courbe cartésienne.
1. La formule polaire donne .
2. L’abscisse vaut .
3. L’ordonnée vaut . Le point obtenu est donc P(1 ; √3).
4. Le contrôle est refaisable dans l’équation cartésienne : . Le point P appartient bien à la courbe. Avec les mêmes paramètres, t = π/4 conduit à l’origine. Celle-ci est un point double de la courbe : deux branches distinctes s’y rencontrent. Les branches lointaines se rapprochent de la droite x = 2 lorsque t se rapproche de π/2. Le tracé rassemble ces trois repères vérifiables.
En pratique
Pour tracer la courbe à partir de son équation polaire, on choisit des angles t, on calcule r, puis on convertit chaque résultat en coordonnées x et y. Un tracé paramétrique est préférable à une esquisse à main levée dès que l’on veut respecter la boucle et l’approche de l’asymptote.
Pour vérifier qu’un point appartient à la strophoïde droite, l’équation cartésienne évite de retrouver un angle polaire. On remplace directement x et y dans l’égalité ; cette voie est préférable lorsque les coordonnées du point sont déjà connues.
Pour étudier les branches lointaines, on examine les angles proches de ceux qui annulent cos(t). Le calcul de limite est préférable à l’évaluation numérique lorsque le dénominateur devient très petit, car les valeurs de r deviennent alors très sensibles à l’arrondi.
À ne pas confondre
Strophoïde et coordonnées polaires. Les coordonnées polaires forment un système de repérage ; la strophoïde est un ensemble de points défini dans ce système. Une paire (r, t) localise un point, tandis que la relation entre r et t engendre toute la courbe.
Strophoïde et cissoïde. Les deux noms ne sont pas interchangeables dans tous les cas. La propriété donnée concerne la strophoïde droite, obtenue pour k = 0 : elle est aussi la cissoïde d’un cercle. Une strophoïde avec k ≠ 0 ne reçoit pas ce second nom sur la seule base de l’équation fournie.
Limites et pièges
Dénominateur nul. La formule de r n’est pas définie lorsque cos(t) = 0. Il ne faut pas attribuer une valeur au quotient : on étudie la branche par une limite. Pour a ≠ 0 et 0 ≤ k < π/2, l’abscisse tend alors vers a cos(k), ce qui donne une asymptote verticale.
Borne exclue. La valeur k = π/2 n’appartient pas à l’intervalle annoncé. À cette borne, numérateur et dénominateur peuvent s’annuler simultanément pour t = π/2 ; le comportement précédent ne peut donc pas être prolongé sans une étude séparée.
Distance signée. Un rayon polaire négatif n’est pas une distance géométrique impossible. Le point se reporte dans la direction opposée à t. Remplacer r par sa valeur absolue changerait le point et déformerait la courbe.
Cas dégénéré. Si a = 0, tous les angles autorisés donnent r = 0. Le tracé se réduit à l’origine au lieu de présenter la boucle et les branches d’une strophoïde droite non dégénérée ; il faut préciser a ≠ 0 pour étudier cette forme.
Pour aller plus loin
La fiche coordonnées polaires approfondit le passage d’un angle et d’un rayon signé aux coordonnées cartésiennes utilisées pour tracer la strophoïde.
La fiche cissoïde éclaire la famille de courbes à laquelle se rattache la strophoïde droite lorsqu’elle est vue comme cissoïde d’un cercle.
La fiche asymptote précise le sens de la droite que les branches lointaines approchent sans l’atteindre à distance finie.
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