folium de Descartes

Imaginez une courbe qui dessine une feuille près du centre d’un repère, puis s’échappe au loin. Ses deux passages se rencontrent à l’origine : ce croisement est un point double. La partie fermée évoque une feuille, d’où le mot latin folium.

Cette forme n’est pas dessinée à main levée. Tous ses points obéissent à une même équation cubique, et sa branche infinie se rapproche d’une droite oblique appelée asymptote.

Le folium de Descartes est une courbe algébrique du plan. Dans un repère cartésien, les coordonnées réelles d’un point sont notées x et y. Le paramètre réel non nul est noté k. La courbe est l’ensemble des points qui vérifient l’équation suivante :

L’équation est de degré trois : le folium est donc une cubique. L’origine satisfait l’équation et constitue un point double, où deux branches se croisent. Une boucle se forme au voisinage de ce point ; elle explique le nom folium, « feuille » en latin. Une autre partie de la courbe s’étend à l’infini et se rapproche de la droite d’équation $x+y+k=0x+y+k=0$. Descartes a introduit cette courbe pour mettre en défaut la méthode de Fermat destinée à rechercher les extremums d’une courbe.

Sur un graphique cartésien, le folium se reconnaît à quatre marqueurs visibles. Une boucle en forme de feuille touche l’origine ; deux passages de la courbe s’y croisent ; une branche quitte la zone centrale ; enfin, cette branche se rapproche d’une droite oblique sans se confondre avec elle.

Le graphique représente les couples de coordonnées qui satisfont l’équation cubique. La taille et l’orientation observées dépendent du paramètre réel non nul k, tandis que le croisement à l’origine, la boucle et le comportement asymptotique caractérisent la courbe.

La grandeur à lire est la position de chaque point dans le repère. 1. Repérez d’abord l’origine, point de coordonnées nulles, où les deux passages se rencontrent. 2. Suivez la boucle entière pour vérifier qu’elle revient à ce même point.

3. Identifiez ensuite la branche infinie. 4. Comparez-la à la droite d’équation $x+y+k=0x+y+k=0$ : l’écart diminue lorsque la branche s’éloigne, sans que la droite devienne une partie du folium.

Un dessin peut faire croire que la boucle se referme comme un ovale ordinaire. Le bon réflexe consiste à examiner l’origine : il ne s’agit pas d’un simple point de fermeture, mais d’un point double où deux directions de passage se croisent.

Prenons le folium défini avec le paramètre k égal à 1. Données : l’équation est $x^3+y^3=3xyx^3+y^3=3xy$, et le point à tester a pour coordonnées $x=y=3\mathrm{/}2x=y=3/2$.

1. Le membre de gauche vaut :

2. Le membre de droite vaut :

3. Les deux résultats exacts sont égaux. Le point de coordonnées (3/2, 3/2) appartient donc au folium. Il se trouve sur la boucle, dans le premier quadrant du repère. Le contrôle est refaisable en remplaçant directement x et y par 3/2 dans l’équation ; le tracé montre aussi ce point remarquable.

Pour vérifier qu’un point appartient au folium, on remplace ses deux coordonnées dans l’équation. Cette substitution donne un verdict exact ; un simple contrôle visuel sur le graphique ne suffit pas.

Pour reconnaître la courbe sur un tracé, on cherche ensemble la boucle, le point double à l’origine et la branche asymptotique. Si seule la forme générale compte, ces marqueurs sont plus utiles qu’une lecture coordonnée par coordonnée.

Pour étudier la branche lointaine, on compare la courbe à son asymptote oblique. L’équation cubique reste préférable lorsqu’il faut décider de l’appartenance d’un point précis.

Une fonction cubique. Le folium est une courbe cubique implicite, mais il n’est pas le graphe d’une unique fonction de x sur tout le plan. Une même verticale peut rencontrer la boucle en plusieurs points ; ce test distingue les deux objets.

L’asymptote. La droite d’équation $x+y+k=0x+y+k=0$ guide la branche lointaine, mais n’est pas cette branche. Un point de la droite n’appartient au folium que s’il vérifie aussi l’équation cubique.

Paramètre nul. La définition impose k non nul. Si k vaut 0, l’équation devient $x^3+y^3=0x^3+y^3=0$ ; sur les réels, elle se réduit à la droite $x+y=0x+y=0$. La boucle et l’asymptote caractéristique disparaissent : ce cas dégénéré n’est pas le folium décrit ici.

Origine mal lue. Les coordonnées (0, 0) vérifient bien l’équation, mais ce point n’est pas régulier : deux passages y coïncident. Pour lire la géométrie locale, il faut conserver les deux branches au lieu de traiter l’origine comme l’extrémité unique d’une boucle.

Asymptote prise pour la courbe. À grande distance, le tracé peut sembler posé sur la droite $x+y+k=0x+y+k=0$. Il faut vérifier les points avec l’équation cubique : une distance visuellement minuscule ne prouve jamais l’appartenance.

Courbe algébrique — Situer le folium parmi les ensembles de points définis par une équation polynomiale.

Cubique — Approfondir ce que le degré trois implique pour la famille à laquelle appartient le folium.

Asymptote — Préciser comment une droite décrit le comportement d’une branche qui part à l’infini.