Cruciforme

Imaginez un repère dont les axes forment une croix. La courbe cruciforme se trouve dans les quatre zones situées au-delà des droites verticales et horizontales x = ±a : chaque morceau s'éloigne d'un axe tout en se rapprochant d'une droite parallèle à l'autre axe.

Le nombre a fixe l'échelle de la figure et ne peut pas être nul. La courbe ne passe pas seulement par quatre branches : l'origine est aussi un point singulier double, ce qui en fait un exemple utile pour voir comment une courbe peut avoir une forme régulière loin d'un point particulier.

Une courbe cruciforme est le lieu des points du plan de coordonnées (x, y) qui vérifient $x^2{y}^2=a^2(x^2+y^2)x^2y^2=a^2(x^2+y^2)$. Les lettres x et y désignent les coordonnées du point, tandis que a est un paramètre réel non nul qui règle l'échelle.

En développant puis en regroupant, l'équation s'écrit $(x^2-a^2)(y^2-a^2)=a^4(x^2-a^2)(y^2-a^2)=a^4$. Cette forme montre que la courbe est une courbe algébrique de degré quatre, appelée quartique. Pour une valeur réelle non nulle de a, ses parties réelles ont quatre branches hyperboliques ; leurs asymptotes sont les droites x = ±a et y = ±a, les mêmes droites géométriques si a est négatif.

L'origine vérifie l'équation et constitue un point singulier double. Une paramétrisation réelle est donnée par x = a/cos(t) et y = a/sin(t), pour les valeurs de t où sin(t) et cos(t) ne sont pas nuls. Chaque intervalle entre deux valeurs interdites décrit une branche ; la paramétrisation ne doit donc pas être évaluée lorsque l'un des dénominateurs s'annule.

Prenons le paramètre réel a = 2 et le paramètre de position t = π/4. On utilise la paramétrisation x = a/cos(t) et y = a/sin(t).

Données : a = 2 ; t = π/4 ; cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2.

1. La première coordonnée vaut $x=\frac{2}{\sqrt{2}\mathrm{/}2}=2\sqrt{2}x=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{2\}/2\}=2\backslash sqrt\{2\}$.
2. La seconde coordonnée donne de même $y=\frac{2}{\sqrt{2}\mathrm{/}2}=2\sqrt{2}y=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{2\}/2\}=2\backslash sqrt\{2\}$.
3. Le point obtenu est donc $(x,y)=(2\sqrt{2},2\sqrt{2})(x,y)=(2\backslash sqrt\{2\},2\backslash sqrt\{2\})$.

Le contrôle par l'équation donne $x^2{y}^2=64x^2y^2=64$, tandis que $a^2(x^2+y^2)=4(8+8)=64a^2(x^2+y^2)=4(8+8)=64$. Les deux membres sont donc égaux, et le point appartient bien à la courbe.

Pour tracer une courbe cruciforme, on choisit d'abord une valeur non nulle de a, puis on calcule des points avec la paramétrisation. Il faut traiter séparément les intervalles où sin(t) et cos(t) gardent un signe, car le passage par une valeur interdite ne décrit aucun point fini.

Pour vérifier un point candidat, on élève ses deux coordonnées au carré et on compare les deux membres de l'équation. Pour repérer l'échelle sans refaire tout le tracé, on observe aussi les quatre droites asymptotes x = ±a et y = ±a.

Un logiciel de géométrie dynamique peut compléter le calcul lorsque l'objectif est d'explorer la forme. Il ne remplace pas la vérification algébrique, qui reste le critère pour décider si un point appartient à la courbe.

Une hyperbole classique. Une branche de la courbe cruciforme peut en rappeler une hyperbole, mais la courbe entière est une quartique définie par un produit de deux carrés. Le critère qui tranche est le degré de l'équation développée : il vaut quatre, et non deux comme pour une hyperbole conique.

Une croix formée de segments. La silhouette cruciforme ne signifie pas que les axes eux-mêmes sont des morceaux de la courbe. Pour a = 2, par exemple, les branches s'approchent des droites x = ±2 et y = ±2, mais ne les suivent pas comme des segments.

Un point ordinaire à l'origine. L'origine appartient à la courbe, mais elle y est singulière et double. Une branche régulière en un point possède une direction tangente bien définie ; cette description ne suffit pas à l'origine cruciforme.

Le paramètre a ne peut pas être nul. Si a = 0, l'équation devient x²y² = 0 et décrit les deux axes, pas la courbe cruciforme de la définition. Il faut donc conserver a ≠ 0 ; la valeur absolue de a fixe la position des asymptotes.

Les valeurs interdites de t ne sont pas des points de la courbe. Lorsque sin(t) = 0 ou cos(t) = 0, une coordonnée de la paramétrisation n'est pas définie. La branche tend alors vers une asymptote ; elle n'atteint pas cette droite à une distance finie.

L'origine est un cas singulier. La courbe y possède un point double, tandis que les quatre branches réelles se trouvent dans les régions où |x| ≥ |a| et |y| ≥ |a|, avec égalité seulement dans une limite à l'infini. Une lecture du dessin qui relierait ces branches par les axes serait donc trompeuse.

Le signe de a ne crée pas une nouvelle forme réelle. Remplacer a par −a ne change pas a² dans l'équation et échange seulement les signes dans la paramétrisation simultanément. La courbe géométrique dépend donc de |a|, pas du signe choisi pour a.

La fiche courbe algébrique permet de situer la cruciforme parmi les ensembles définis par une équation polynomiale.

La fiche hyperbole aide à comparer les branches de la cruciforme avec une courbe conique de degré deux.

La fiche singularité approfondit le statut particulier de l'origine, où la courbe n'est pas régulière.

La fiche asymptote précise comment une branche peut se rapprocher d'une droite sans la rencontrer à distance finie.