sorcière d'Agnesi

Imaginez une courbe en forme de cloche, posée au-dessus d'un axe horizontal. Son sommet se trouve sur l'axe vertical, à la hauteur choisie par le nombre positif a. De part et d'autre, ses deux branches descendent symétriquement et se rapprochent de l'axe horizontal sans le toucher.

Cette courbe est la sorcière d'Agnesi. On peut la tracer par le calcul, mais aussi par une construction avec un cercle, une tangente et une droite qui pivote autour de l'origine.

Dans un repère orthonormé, l'abscisse est notée x, l'ordonnée y et le paramètre réel strictement positif a. La sorcière d'Agnesi est l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient :

Comme a est positif, cette relation donne, pour toute valeur réelle de x, une unique ordonnée : $y=\frac{a^3}{x^2+a^2}y=\backslash frac\{a^3\}\{x^2+a^2\}$. La courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical. Elle atteint la hauteur a lorsque x vaut 0, reste strictement au-dessus de l'axe horizontal et s'en approche quand la valeur absolue de x augmente. Son équation cartésienne est de degré total 3, ce qui explique le nom de cubique d'Agnesi, même si y est une fonction rationnelle de x.

La construction part d'un cercle de diamètre OA égal à a, passant par l'origine O, et de la tangente au cercle en A, parallèle à l'axe horizontal. Une sécante issue de O coupe le cercle en N et la tangente en P. Le point M combine alors l'abscisse de P et l'ordonnée de N. Le mouvement de la sécante fait décrire la courbe à M. Fermat l'étudia en 1630, Guido Grandi la nomma versiera en 1703, puis Maria Gaetana Agnesi la traita dans son ouvrage de 1748. Le mot « sorcière » vient de John Colson, qui confondit versiera avec avversiera, terme associé à l'adversaire ou au diable.

Prenons le paramètre a égal à 2. Nous voulons placer trois points de la courbe, pour les abscisses −2, 0 et 2. L'équation de départ est x²y = 4(2 − y).

1. Isolons l'ordonnée y : $y=\frac{8}{x^2+4}y=\backslash frac\{8\}\{x^2+4\}$. Le dénominateur est toujours positif.

2. Pour x égal à 0, on obtient y = 8 ÷ 4 = 2. Le sommet est donc le point (0 ; 2).

3. Pour x égal à 2 ou à −2, le carré vaut 4. Dans les deux cas, y = 8 ÷ 8 = 1. Les points (2 ; 1) et (−2 ; 1) confirment la symétrie.

4. Contrôlons le point (2 ; 1) dans l'équation initiale : 2² × 1 = 4 et 4 × (2 − 1) = 4. Les deux membres coïncident. Le tracé calculé montre ensuite les branches qui se rapprochent de y = 0 sans l'atteindre pour une abscisse finie.

Pour esquisser la courbe à la main, choisissez une valeur positive de a, placez le sommet (0 ; a), puis calculez quelques ordonnées de part et d'autre de 0. La symétrie évite de refaire les mêmes calculs.

Pour obtenir un tracé plus dense, un grapheur est préférable à une longue table de valeurs. Saisissez la forme rationnelle de l'équation et contrôlez deux repères simples : la hauteur vaut a en 0 et l'axe horizontal n'est jamais coupé.

Pour reconnaître une sorcière d'Agnesi parmi plusieurs cloches, l'apparence ne suffit pas. Vérifiez l'équation ou la construction par cercle et tangente : ce sont elles qui caractérisent la courbe.

Le cercle de construction. Le cercle sert à produire les points M, mais il n'est pas la sorcière d'Agnesi. Un point de la courbe combine l'abscisse du point P situé sur la tangente et l'ordonnée du point N situé sur le cercle.

Le graphe d'un polynôme de degré 3. Le mot « cubique » vient du degré total de l'équation implicite x²y = a²(a − y). Une fois y isolé, la fonction obtenue est rationnelle, et non polynomiale.

Le paramètre doit être strictement positif. La définition donnée suppose a > 0. Si l'on remplace a par 0 dans l'équation implicite, on obtient x²y = 0, réunion des deux axes : ce n'est plus la courbe en cloche ni la construction avec un cercle de diamètre positif.

L'axe horizontal n'est pas une partie de la courbe. Pour a positif et x fini, le quotient $\frac{a^3}{x^2+a^2}\backslash frac\{a^3\}\{x^2+a^2\}$ reste strictement positif. L'ordonnée tend vers 0 seulement lorsque la valeur absolue de x devient arbitrairement grande.

Le nom ne décrit aucune propriété mathématique. « Sorcière » conserve la trace de la confusion de Colson entre versiera et avversiera. Pour identifier l'objet sans ambiguïté, il faut revenir à son équation ou à sa construction géométrique.

L'article fonction rationnelle aide à lire la forme obtenue après avoir isolé y, notamment le rôle du dénominateur.

La fiche asymptote précise en quel sens l'axe horizontal guide les branches de la courbe sans être atteint.