Vecteur directeur
Un vecteur directeur d'une droite dans le plan ou l'espace est un vecteur non nul dont la direction est parallèle à celle de la droite. Tout multiple non nul d'un vecteur directeur est également un vecteur directeur. Dans le plan, deux droites distinctes sont parallèles si et seulement si elles admettent des vecteurs directeurs colinéaires. Un vecteur directeur fixe la direction géométrique de la droite ; son signe choisit seulement un sens. Pour un vecteur directeur (a ; b) avec a non nul, la pente de la droite vaut b/a ; si a est nul, la droite est verticale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle d'un vecteur directeur pour une droite du plan ou de l'espace.
- Écrire des équations paramétriques et vérifier un point sur un exemple chiffré.
- Tester le parallélisme par colinéarité.
- Distinguer vecteur directeur, coefficient directeur et vecteur normal.
En clair
Imaginez une flèche posée sur une droite. Si la flèche suit exactement la droite, sans partir de côté, son vecteur est un vecteur directeur. Sa longueur n'a pas d'importance : une flèche deux fois plus longue ou pointant dans le sens opposé indique encore la même direction.
Dans un repère, les coordonnées de cette flèche indiquent le déplacement horizontal et le déplacement vertical qui permettent d'avancer d'un point de la droite à un autre.
Définition
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul parallèle à cette droite. Dans le plan, si ses coordonnées sont notées (a ; b), le couple (a ; b) ne doit pas être (0 ; 0). Dans l'espace, la même définition s'applique à un triplet de coordonnées non toutes nulles.
Si un point A appartient à la droite et si le vecteur directeur est noté u, tout point M de la droite s'obtient en ajoutant à A un multiple réel de u. Le nombre réel multiplicateur est noté t : . Réciproquement, tout point qui vérifie cette relation appartient à la droite.
Pour tout réel non nul k, le vecteur ku dirige la même droite. Dans le plan, deux droites distinctes sont parallèles exactement lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Le vecteur fixe une direction géométrique ; le choix de u ou de −u change le sens de la flèche, pas la droite.
De quoi c'est fait
Une droite paramétrée repose sur quatre éléments. Le point A fixe son passage dans le repère. Le vecteur non nul u fixe sa direction. Les coordonnées de u donnent les déplacements selon les axes. Enfin, le paramètre réel t indique combien de fois ce déplacement est effectué, dans un sens ou dans l'autre.
Avec A(1 ; 2) et u = (3 ; 1), le point courant M a pour coordonnées . A et u suffisent donc à construire toute la droite. Changer A pour un autre point de cette droite ne change pas l'objet ; multiplier u par un réel non nul ne change que la longueur ou le sens de la flèche. La représentation met en évidence cette direction commune sur deux droites parallèles.
Un exemple, pas à pas
On considère le point A(1 ; 2) et le vecteur u = (3 ; 1). On cherche le point obtenu pour t = 2, puis une équation de la droite dirigée par u et passant par A.
1. Le déplacement vaut 2u = (6 ; 2).
2. En l'ajoutant aux coordonnées de A, on obtient M(1 + 6 ; 2 + 2), donc M(7 ; 4).
3. Les coordonnées paramétriques sont .
4. Le vecteur de coordonnées (1 ; −3) est perpendiculaire à u, car 3 × 1 + 1 × (−3) = 0. Une équation cartésienne est donc .
Contrôle : A vérifie 1 − 6 + 5 = 0 et M vérifie 7 − 12 + 5 = 0. Les deux points appartiennent bien à la droite.
1. Le déplacement vaut 2u = (6 ; 2).
2. En l'ajoutant aux coordonnées de A, on obtient M(1 + 6 ; 2 + 2), donc M(7 ; 4).
3. Les coordonnées paramétriques sont .
4. Le vecteur de coordonnées (1 ; −3) est perpendiculaire à u, car 3 × 1 + 1 × (−3) = 0. Une équation cartésienne est donc .
Contrôle : A vérifie 1 − 6 + 5 = 0 et M vérifie 7 − 12 + 5 = 0. Les deux points appartiennent bien à la droite.
En pratique
Pour tracer une droite parallèle distincte d'une droite donnée, on conserve un de ses vecteurs directeurs et l'on choisit un nouveau point de passage hors de la droite initiale. Cette méthode est préférable à une estimation visuelle dès que le tracé doit être exact.
Pour comparer deux droites affines du plan, on examine leurs vecteurs directeurs. S'ils ne sont pas colinéaires, les droites se coupent. S'ils sont colinéaires, les droites sont soit parallèles distinctes, soit confondues ; pour les distinguer, on vérifie si un point de l'une appartient à l'autre.
Pour décrire une droite de l'espace, un point et un vecteur directeur donnent directement des équations paramétriques. Une équation cartésienne seule convient davantage dans le plan lorsque l'on veut tester rapidement l'appartenance d'un point.
À ne pas confondre
Le coefficient directeur est un nombre qui mesure la pente d'une droite non verticale dans un repère du plan. Un vecteur directeur est un vecteur : par exemple, (3 ; 1) dirige une droite de coefficient directeur 1/3. Pour une droite verticale, un vecteur directeur tel que (0 ; 1) existe, tandis que le coefficient directeur n'est pas défini.
Un vecteur normal est perpendiculaire à la droite, et non parallèle. Pour la droite d'équation x − 3y + 5 = 0, le vecteur (1 ; −3) est normal, tandis que (3 ; 1) est directeur. Leur produit scalaire nul permet de trancher.
Limites et pièges
Le vecteur nul (0 ; 0) n'est jamais directeur : il ne porte aucune direction. Si un calcul le produit, il faut choisir deux points distincts de la droite ou un autre vecteur non nul.
Un multiple négatif, comme −2u, inverse le sens de la flèche mais conserve la direction de la droite. Conclure que les directions sont différentes à cause des signes serait une erreur.
Une droite verticale a bien un vecteur directeur, par exemple (0 ; 1), même si sa pente numérique n'est pas définie. Dans ce cas, il faut employer le vecteur ou une équation de la forme x = constante.
Un vecteur reliant un point de la droite à un point extérieur n'est pas directeur. Le symptôme est qu'en ajoutant ses multiples au point de départ, on quitte la droite ; il faut prendre la différence entre deux points distincts appartenant à celle-ci.
Pour aller plus loin
Le glossaire coefficient directeur prolonge la lecture en reliant les coordonnées d'un vecteur directeur à la pente d'une droite non verticale.
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