valeur absolue d'un nombre
La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, représente la distance séparant ce nombre de l'origine sur la droite numérique, c'est-à-dire sa distance à zéro. Par définition, |x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x si x < 0. La valeur absolue est donc toujours un nombre positif ou nul. Elle vérifie notamment les propriétés suivantes : |x| = 0 si et seulement si x = 0 ; |xy| = |x|·|y| ; et l'inégalité triangulaire |x + y| ≤ |x| + |y|. La notion se généralise aux nombres complexes, où la valeur absolue correspond au module.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la valeur absolue comme une distance à zéro.
- Appliquer la définition selon le signe d’un nombre réel.
- Vérifier la propriété du produit et l’inégalité triangulaire sur un même exemple.
- Distinguer valeur absolue, opposé et fonction valeur absolue.
- Reconnaître le cas zéro et le prolongement au module complexe.
En clair
Sur une droite graduée, les nombres −4 et 4 se trouvent de part et d’autre de zéro. Chacun est pourtant à quatre unités de l’origine. Leur valeur absolue est donc la même : |−4| = 4 et |4| = 4.
La valeur absolue retient la distance, pas le côté de la droite. Elle ne peut jamais être négative. La droite graduée associée rend visible cette symétrie autour de zéro.
Définition
La valeur absolue s’applique à un nombre réel, appelé x, et se note |x|. Elle mesure la distance entre x et zéro sur la droite numérique. Sa définition dépend du signe de x :
Le résultat est toujours positif ou nul. Il vaut zéro si et seulement si x vaut zéro. Pour deux nombres réels appelés x et y, la valeur absolue d’un produit est le produit des valeurs absolues : . Leur somme vérifie l’inégalité triangulaire : . La notion s’étend enfin à un nombre complexe, dont la valeur absolue porte le nom de module.
Un exemple, pas à pas
Prenons deux nombres réels : le premier, noté x, vaut −4 ; le second, noté y, vaut 3. Ces deux données suffisent pour calculer leurs valeurs absolues, puis contrôler deux propriétés.
1. Calculer |x|.
Le nombre −4 est négatif. Son opposé vaut 4, donc |−4| = 4.
Le nombre −4 est négatif. Son opposé vaut 4, donc |−4| = 4.
2. Calculer |y|.
Le nombre 3 est positif, donc |3| = 3.
Le nombre 3 est positif, donc |3| = 3.
3. Contrôler le produit.
Le produit de −4 par 3 vaut −12. Ainsi, |−12| = 12, tandis que |−4| × |3| = 4 × 3 = 12. Les deux résultats coïncident.
Le produit de −4 par 3 vaut −12. Ainsi, |−12| = 12, tandis que |−4| × |3| = 4 × 3 = 12. Les deux résultats coïncident.
4. Contrôler la somme.
La somme de −4 et 3 vaut −1, dont la valeur absolue vaut 1. Or 1 ≤ 4 + 3, donc l’inégalité triangulaire est vérifiée. La somme se trouve à une unité de zéro, ce qui fournit un contrôle direct sur la droite graduée.
La somme de −4 et 3 vaut −1, dont la valeur absolue vaut 1. Or 1 ≤ 4 + 3, donc l’inégalité triangulaire est vérifiée. La somme se trouve à une unité de zéro, ce qui fournit un contrôle direct sur la droite graduée.
En pratique
Sur une droite graduée, la valeur absolue donne immédiatement la distance d’un point à zéro. Si le côté de l’origine compte aussi, il faut conserver le nombre signé plutôt que sa seule valeur absolue.
Pour mesurer l’écart entre une valeur et zéro, on prend sa valeur absolue. Pour savoir si cette valeur est au-dessus ou au-dessous de zéro, on examine son signe : la distance seule ne fournit pas cette information.
Dans un calcul, la règle par cas permet de supprimer les barres correctement. Un nombre positif ou nul reste inchangé ; pour un nombre négatif, son opposé donne la distance cherchée.
À ne pas confondre
Valeur absolue et opposé. Pour un nombre réel non nul, l’opposé change le côté de zéro, tandis que la valeur absolue donne une distance. Avec 3, le critère tranche immédiatement : son opposé est −3, mais sa valeur absolue est 3.
Valeur absolue d’un nombre et fonction valeur absolue. |−4| = 4 est la valeur obtenue pour une entrée précise. La fonction valeur absolue associe au contraire sa valeur absolue à chaque nombre réel.
Limites et pièges
Le cas charnière est zéro. La valeur absolue n’est pas toujours strictement positive : |0| = 0. Si |x| = 0, alors et seulement alors x = 0 ; dans tous les autres cas, la valeur absolue est positive.
Le signe moins de la règle ne rend pas le résultat négatif. Lorsque x est négatif, l’écriture −x désigne son opposé. Pour x = −4, il faut substituer d’abord : −(−4) = 4.
L’inégalité triangulaire n’est pas une égalité automatique. Avec −4 et 3, le côté gauche vaut 1 tandis que le côté droit vaut 7. Il faut conserver le symbole ≤ tant qu’une égalité n’a pas été établie.
Pour un nombre complexe, la règle réelle par signe ne s’emploie plus. L’extension de la valeur absolue s’appelle le module. Il faut donc raisonner avec ce module plutôt qu’avec les deux cas x ≥ 0 et x < 0.
Pour aller plus loin
fonction valeur absolue — Pour passer d’un calcul isolé à l’étude de toutes les entrées réelles et de leurs images.
Les richesses de l’inégalité triangulaire — Pour approfondir la propriété qui borne la valeur absolue d’une somme.
Les nombres complexes de module 1 — Pour voir comment la distance à zéro se prolonge dans le plan complexe.
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