ArithmétiqueObjet mathématique · Glossaire
somme d'une suite arithmétique
La somme des (n + 1) premiers termes d'une suite arithmétique à valeurs réelles ou complexes se calcule par la formule : S = (1/2)(n + 1)(u₀ + uₙ), où u₀ est le premier terme et uₙ est le (n + 1)-ième terme. Cette formule exprime que la somme est égale au produit du nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme. Elle traduit la régularité de la progression : les termes sont symétriquement distribués autour de leur moyenne, de sorte que la somme de deux termes équidistants des extrémités est constante et égale à u₀ + uₙ.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la somme au nombre de termes et à la moyenne des extrêmes.
- Appliquer la formule à six termes et contrôler le résultat par addition et par paires.
- Adapter le calcul à une indexation depuis 1 ou à une portion de suite.
- Reconnaître quand des écarts inégaux interdisent la formule.
En clair
Un défi propose 3 exercices le premier jour, puis 2 exercices de plus chaque jour. Sur six jours, les nombres prévus sont 3, 5, 7, 9, 11 et 13. Les additionner un à un fonctionne, mais leur régularité offre un raccourci.
Le premier et le dernier nombre ont pour moyenne 8. Il en va de même pour chaque paire placée à égale distance des extrémités. Multiplier cette moyenne par les six jours donne donc 8 × 6 = 48 exercices.
Définition
Une suite arithmétique est une suite de nombres réels ou complexes dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur, appelée raison. Si le premier terme est noté u0, si la raison est r et si k est un entier positif ou nul, alors .
Pour un entier n positif ou nul, les termes de u0 à un sont au nombre de n + 1. En notant leur somme Sn, on obtient :
La formule vaut quelle que soit la raison, y compris si elle est négative ou nulle. Elle exprime une symétrie : u0 + un, u1 + un−1 et les autres paires équidistantes ont la même somme. Autrement dit, la somme totale est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.
De quoi c'est fait
Le calcul repose sur six données liées : le premier terme u0, la raison r, l’indice final n, le dernier terme un, le nombre n + 1 de termes et leur somme Sn. Le premier terme et la raison déterminent tous les autres. L’indice final détermine à la fois le dernier terme et le nombre de termes.
Dans la suite 3, 5, 7, 9, 11, 13, les termes équidistants des extrémités forment les paires 3 et 13, 5 et 11, puis 7 et 9. Chaque paire a pour somme 16 et pour moyenne 8. Cette symétrie est le mécanisme visible derrière la formule.
Connaître le premier terme, la raison et l’indice final suffit à construire la suite finie. Pour calculer seulement sa somme, le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes suffisent.
Un exemple, pas à pas
Le défi commence avec 3 exercices et en ajoute 2 chaque jour pendant six jours. Données :
premier terme u0 = 3 ;
raison r = 2 ;
indice final n = 5 ;
dernier terme u5 = 3 + 5 × 2 = 13.
premier terme u0 = 3 ;
raison r = 2 ;
indice final n = 5 ;
dernier terme u5 = 3 + 5 × 2 = 13.
Calcul :
1. Le nombre de termes est n + 1 = 5 + 1 = 6.
2. La moyenne des extrêmes est (3 + 13) ÷ 2 = 8.
3. La somme vaut 6 × 8 = 48.
1. Le nombre de termes est n + 1 = 5 + 1 = 6.
2. La moyenne des extrêmes est (3 + 13) ÷ 2 = 8.
3. La somme vaut 6 × 8 = 48.
Le défi prévoit donc 48 exercices au total. Le contrôle peut être refait sans la formule : 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 48. On peut aussi regrouper les termes par paires : 3 + 13 = 16, 5 + 11 = 16 et 7 + 9 = 16, soit 3 × 16 = 48.
En pratique
Dans un défi où le nombre d’exercices augmente de 2 chaque jour, la formule donne directement le total à prévoir. Pour six jours, l’addition directe reste pratique comme contrôle ; pour une longue durée, le calcul par les extrêmes évite d’additionner chaque terme.
Dans un tableur, il faut d’abord observer les écarts entre valeurs successives. S’ils sont tous égaux, le premier terme, le dernier et le nombre de lignes suffisent. Si les écarts varient, la fonction de somme du tableur ou une autre modélisation est préférable.
Pour additionner seulement une portion d’une suite, on prend comme nouvelles extrémités le premier et le dernier terme de cette portion. Il faut alors recompter les termes inclus, au lieu de réutiliser le nombre de termes de la suite entière.
À ne pas confondre
Le terme de rang n et la somme jusqu’au rang n. La formule un = u0 + nr donne une seule valeur, tandis que Sn additionne toutes les valeurs de u0 à un. Dans l’exemple, u5 vaut 13, mais S5 vaut 48.
La somme d’une suite géométrique. Une suite arithmétique se reconnaît à une différence constante entre deux termes successifs ; une suite géométrique se reconnaît à un rapport constant. Ainsi, 3, 6, 12 est géométrique : la formule fondée sur la moyenne des extrêmes ne s’y applique pas.
Limites et pièges
Un décalage d’indice change le nombre de termes. De u0 à un, il y a n + 1 termes. De u1 à un, il y en a n ; en notant cette somme Tn, la formule devient . Le symptôme d’erreur est souvent un facteur n à la place de n + 1.
Une portion commence parfois après le premier terme. Pour additionner de ua à ub, avec a et b des entiers du domaine d’indices et a inférieur ou égal à b, il faut compter b − a + 1 termes : . Employer n + 1 sans recompter la portion donne un total faux.
Le cas n = 0 contient un terme. La somme se réduit à u0, et non à zéro. La formule reste valable, car le nombre de termes est alors 0 + 1 = 1.
Des écarts inégaux invalident le raccourci. Si deux différences successives ne coïncident pas, les paires symétriques n’ont aucune raison d’avoir une somme constante. Il faut alors additionner les termes disponibles ou utiliser une formule adaptée à la suite réellement observée.
Pour aller plus loin
Suite arithmétique — Retrouvez la définition de la progression, sa raison et l’expression de son terme général.
Moyenne arithmétique — Approfondissez le rôle de la moyenne des termes extrêmes dans la formule de sommation.
Nombre triangulaire — Reliez la somme des premiers entiers à une famille classique de figures et de nombres.
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