AnalyseObjet mathématique · Glossaire
suite arithmético-géométrique
Une suite arithmético-géométrique à valeurs dans un corps commutatif K — en particulier dans ℝ ou ℂ — est définie par une relation de récurrence de la forme : ∀ n ≥ 0, un+1 = a·un + b, où a et b sont des éléments fixés de K. Lorsque a = 1, on retrouve une suite arithmétique de raison b. Dans le cas général où a ≠ 1, on introduit le point fixe r = b/(1 − a). En posant vn = un − r, la suite (vn) est géométrique de raison a : c'est l'idée directrice de l'étude. Les blocs dédiés détaillent ensuite le terme général, la somme des premiers termes et les différents cas de convergence.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Transformer la récurrence affine en une suite géométrique d'écarts au point fixe.
- Calculer le terme général et la somme des premiers termes.
- Refaire l'exemple uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 6 à partir de u₀ = 20.
- Distinguer les régimes |a| < 1, a = 1, a = −1 et |a| > 1, avec l'exception u₀ = r.
En clair
Partons de 20. À chaque étape, on garde la moitié du nombre précédent, puis on ajoute 6. On obtient 16, puis 14, puis 13. La règle mêle ainsi une multiplication, comme dans une suite géométrique, et une addition, comme dans une suite arithmétique.
Les valeurs se rapprochent ici de 12. Ce nombre est le point fixe : lui appliquer la règle redonne 12. Mesurer l'écart à 12 révèle alors un mécanisme très simple : cet écart est divisé par deux à chaque étape.
Définition
Une suite arithmético-géométrique est une suite de nombres dont chaque terme s'obtient par une même transformation affine. Le premier terme est noté u0. Deux constantes sont fixées : le coefficient multiplicateur a et le terme ajouté b. Pour tout entier naturel n, la relation est . Les valeurs peuvent appartenir à un corps commutatif K, notamment ℝ ou ℂ.
Lorsque a = 1, la relation devient un+1 = un + b : la suite est arithmétique de raison b. Lorsque a ≠ 1, le nombre r défini par est le point fixe, car ar + b = r. En notant vn l'écart un − r, on obtient vn+1 = avn. La suite des écarts est donc géométrique de raison a.
Cette translation donne le terme général . La somme de u0 à un−1 vaut . Dans ℝ ou ℂ, si |a| < 1, le facteur an tend vers zéro et la suite converge vers r, quel que soit u0. Les autres régimes demandent de traiter séparément le point fixe et les valeurs charnières de a.
De quoi c'est fait
Quatre données organisent la suite. Le terme initial u0 fixe le départ. Le coefficient a règle la multiplication répétée. Le terme b ajoute le même décalage à chaque étape. Enfin, l'indice entier n compte le nombre d'applications de la règle. Ces données suffisent à construire tous les termes par récurrence.
Si a ≠ 1, les constantes a et b déterminent ensemble le point fixe r = b/(1 − a). Le départ u0 détermine alors l'écart initial u0 − r, tandis que a gouverne l'évolution de cet écart. Ainsi, b ne disparaît pas : il déplace le centre autour duquel agit la multiplication.
Le tracé d'une courbe ou le choix d'une couleur ne définissent pas la suite. Ce sont la valeur initiale et la relation un+1 = aun + b qui la définissent. Elles permettent de calculer un terme isolé, une somme de termes et, sur ℝ ou ℂ, le comportement à long terme.
Un exemple, pas à pas
Étudions la suite obtenue en gardant la moitié du terme précédent puis en ajoutant 6.
Données :
Le terme initial vaut u0 = 20.
Le coefficient vaut a = 0,5.
Le terme ajouté vaut b = 6.
La relation est un+1 = 0,5un + 6.
Données :
Le terme initial vaut u0 = 20.
Le coefficient vaut a = 0,5.
Le terme ajouté vaut b = 6.
La relation est un+1 = 0,5un + 6.
1. Le point fixe vérifie r = 0,5r + 6. On trouve .
2. L'écart initial à ce point fixe vaut u0 − r = 20 − 12 = 8. Comme cet écart est multiplié par 0,5 à chaque rang, le terme général est .
3. Les premiers termes sont u1 = 16, u2 = 14 et u3 = 13. Chaque écart à 12 est bien la moitié du précédent : 8, 4, 2, puis 1.
4. La somme des quatre premiers termes est 20 + 16 + 14 + 13 = 63. La formule confirme ce résultat : .
Le graphique des premiers rangs rend visible le contrôle essentiel : les points restent au-dessus de 12 et leur écart à cette valeur est divisé par deux à chaque pas.
En pratique
Pour calculer seulement quelques termes, on applique directement la récurrence. Dans l'exemple, trois itérations donnent 16, 14 et 13. Pour atteindre un rang élevé sans refaire tous les calculs, la formule un = 12 + 8 × 0,5n est préférable.
Pour étudier une évolution qui multiplie l'état précédent puis ajoute une même quantité, on cherche d'abord le point fixe. Si le coefficient a vaut 1, la méthode change : la suite est arithmétique et son accroissement constant b suffit.
Pour prévoir le comportement à long terme, on observe l'écart au point fixe. Si |a| < 1, cet écart s'efface. Si |a| dépasse 1, il grandit sauf lorsque le terme initial est déjà le point fixe. Cette lecture évite de se fier à quelques termes seulement.
À ne pas confondre
Suite arithmétique. Sa différence un+1 − un est constante. Une suite arithmético-géométrique est en général arithmétique lorsque a = 1 ; si a ≠ 1, elle ne peut l'être que dans le cas constant où u0 = b/(1 − a). Par exemple, un+1 = un + 6 a des écarts constants, contrairement, pour u0 = 20, à un+1 = 0,5un + 6.
Suite géométrique. Son rapport entre deux termes consécutifs est constant lorsque ce rapport est défini. Dans l'exemple, les termes 20, 16 et 14 n'ont pas un rapport constant. Ce sont les écarts à 12, soit 8, 4 et 2, qui forment une suite géométrique de raison 0,5.
Limites et pièges
Départ au point fixe. Si u0 = r, tous les termes valent r, quelle que soit la taille de a. Dans ℝ, si a > 1 et u0 ≠ r, la suite tend vers +∞ lorsque u0 − r est positif et vers −∞ lorsqu'il est négatif. Il faut donc vérifier l'écart initial avant de conclure.
Cas a = 1. La formule contenant 1 − a au dénominateur n'est plus utilisable. La suite vérifie alors un = u0 + nb : elle est arithmétique, constante si b = 0 et sinon sans limite finie dans ℝ.
Seuil a = −1. L'écart au point fixe est multiplié alternativement par −1. La suite alterne entre deux valeurs et ne diverge pas en valeur absolue ; elle est constante seulement si u0 = r. Pour a < −1 et u0 ≠ r dans ℝ, l'écart grandit en valeur absolue en changeant de signe : les sous-suites de rangs pairs et impairs tendent vers +∞ et −∞, dans un ordre qui dépend du départ.
Valeurs complexes. Dans ℂ, les expressions « positive » et « négative » n'ont pas de sens général. Le critère |a| < 1 garantit toujours la convergence vers r. Si |a| > 1 et u0 ≠ r, le module de l'écart diverge ; son argument peut aussi tourner.
Pour aller plus loin
suite géométrique — Approfondit la suite des écarts vn = un − r, qui porte tout le mécanisme du terme général.
suite arithmétique — Éclaire le cas charnière a = 1, où l'addition de b devient le seul changement entre deux termes.
convergence d'une suite numérique — Précise le sens d'une limite et replace le critère |a| < 1 dans l'étude générale des suites.
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