moyenne arithmético-géométrique

Prenez les nombres 1 et 4. Remplacez-les par deux nouvelles valeurs : leur moyenne géométrique, 2, et leur moyenne arithmétique, 2,5. Recommencez avec 2 et 2,5. Les deux résultats se rapprochent alors très vite.

En répétant ce double calcul, la valeur basse monte et la valeur haute descend. Elles finissent par viser un même nombre, environ 2,243 dans cet exemple. Ce point de rencontre est la moyenne arithmético-géométrique, aussi appelée moyenne de Gauss.

La moyenne arithmético-géométrique s'applique à deux nombres réels strictement positifs, notés a et b. On construit deux suites : la première, notée u, prend à chaque étape la moyenne géométrique des deux valeurs précédentes ; la seconde, notée v, prend leur moyenne arithmétique. Pour tout entier n positif ou nul, la construction s'écrit :

Comme la construction ne dépend pas de l'ordre des deux nombres, on peut les échanger au besoin pour supposer a ≤ b. Les termes de la suite u augmentent alors, ceux de la suite v diminuent, et leur écart tend vers zéro. Leur limite commune est notée M(a, b) ou agm(a, b). Elle se situe entre leur moyenne géométrique et leur moyenne arithmétique : $\sqrt{ab}\le M(a,b)\le \frac{a+b}{2}\backslash sqrt\{ab\}\backslash leq\; M(a,b)\backslash leq\; \backslash frac\{a+b\}\{2\}$. Découverte indépendamment par Adrien-Marie Legendre et Carl Friedrich Gauss, elle porte aussi le nom de moyenne de Gauss et intervient dans les intégrales elliptiques liées à la longueur d'une ellipse.

Calculons la moyenne arithmético-géométrique de 1 et 4. Les données sont les deux valeurs initiales u₀ = 1 et v₀ = 4. À chaque tour, il faut conserver les deux résultats avant de recommencer.

1. Premier tour : $u_1=\sqrt{1\times 4}=2u\_1=\backslash sqrt\{1\backslash times4\}=2$ et $v_1=\frac{1+4}{2}=\mathrm{2,5}v\_1=\backslash frac\{1+4\}\{2\}=2\{,\}5$.
2. Deuxième tour : $u_2=\sqrt{2\times \mathrm{2,5}}=\sqrt{5}\approx \mathrm{2,236068}u\_2=\backslash sqrt\{2\backslash times2\{,\}5\}=\backslash sqrt\{5\}\backslash approx2\{,\}236068$ et $v_2=\frac{2+\mathrm{2,5}}{2}=\mathrm{2,25}v\_2=\backslash frac\{2+2\{,\}5\}\{2\}=2\{,\}25$.
3. Troisième tour : u₃ ≈ 2,243023 et v₃ ≈ 2,243034.
4. Quatrième tour : u₄ ≈ 2,243028580284 et v₄ ≈ 2,243028580291 ; l'écart vaut environ 6,52 × 10⁻¹².

Ainsi, M(1, 4) ≈ 2,24302858029. Le contrôle est refaisable : à chaque tour, la valeur obtenue par moyenne géométrique ne dépasse pas celle obtenue par moyenne arithmétique, et l'écart passe de 0,5 à environ 0,013932, puis à environ 0,000010817.

Pour obtenir une valeur numérique, on répète les deux moyennes jusqu'à ce que leur écart soit inférieur à la précision recherchée. Avec 1 et 4, quatre tours suffisent déjà pour obtenir la même valeur arrondie à dix décimales.

Pour encadrer le résultat sans itérer, on peut utiliser la moyenne géométrique comme borne basse et la moyenne arithmétique comme borne haute. Dans l'exemple, 2 ≤ M(1, 4) ≤ 2,5 ; chaque nouveau tour resserre cet intervalle.

Dans l'étude de la longueur d'une ellipse, la moyenne arithmético-géométrique apparaît dans les formules associées aux intégrales elliptiques. On la préfère alors à une moyenne ordinaire lorsque c'est précisément cette structure intégrale qui doit être calculée.

Moyenne arithmétique. Elle s'obtient en un seul calcul, en additionnant les valeurs puis en divisant par deux. Pour 1 et 4, elle vaut 2,5, tandis que la moyenne arithmético-géométrique vaut environ 2,24302858029.

Moyenne géométrique. Elle est la racine carrée du produit des deux valeurs. Pour 1 et 4, elle vaut 2. Cette valeur n'est que la borne basse du processus, pas sa limite commune.

Suites adjacentes. Ce terme décrit le comportement de deux suites, l'une croissante et l'autre décroissante, la première restant inférieure ou égale à la seconde, et dont l'écart tend vers zéro. La moyenne arithmético-géométrique est la limite produite par une construction particulière de ce type.

Domaine des données. La définition donnée ici suppose deux réels strictement positifs. Si l'une des valeurs est négative, la racine carrée du produit peut cesser d'être réelle ; cette construction ne définit alors pas la même moyenne réelle.

Valeurs initiales égales. Si a = b, les deux moyennes redonnent immédiatement cette valeur. Les suites sont constantes et M(a, a) = a : il n'y a rien à itérer.

Ordre des bornes. Si la première donnée dépasse la seconde, les termes initiaux ne sont pas rangés dans l'ordre bas-haut. Après un tour, la moyenne géométrique ne dépasse pas la moyenne arithmétique ; on peut aussi échanger les données sans changer la limite.

Arrêt numérique. Deux affichages identiques ne prouvent pas une égalité exacte : ils peuvent seulement coïncider après arrondi. Il faut fixer une tolérance et arrêter lorsque l'écart entre les deux suites passe sous ce seuil.

La moyenne géométrique détaille la borne basse calculée à chaque tour et son domaine de définition.

La moyenne arithmétique précise la borne haute et le second calcul répété dans l'itération.

Les suites adjacentes donnent le cadre qui garantit l'existence d'une limite commune.

L'ellipse replace cette moyenne dans le problème géométrique de longueur mentionné dans la définition.