somme d'une suite géométrique

Imaginez cinq paquets de jetons. Le premier en contient 80, puis chaque paquet en contient la moitié du précédent : 40, 20, 10 et 5. Leur total vaut 155 jetons.

Les tailles forment une suite géométrique, car on passe toujours d’un paquet au suivant par la même multiplication. La formule de somme rassemble tous ces termes en un seul calcul. Elle évite une longue addition et indique aussi vers quelle valeur les totaux successifs se rapprochent lorsque les paquets continuent indéfiniment.

Une suite géométrique est déterminée par son premier terme, noté u₀, et par sa raison, notée r. Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par r. Pour un entier positif n, la somme des n premiers termes additionne u₀ jusqu’au terme d’indice n − 1. On la note S_n.

Si la raison r est différente de 1, cette somme vaut $S_n=u_0\frac{1-r^n}{1-r}S\_n=u\_0\backslash frac\{1-r^n\}\{1-r\}$. La formule s’applique aux suites à valeurs réelles comme aux suites à valeurs complexes. Lorsque r vaut 1, tous les termes sont égaux à u₀ ; le quotient précédent n’est pas défini et il faut employer $S_n=n{u}_{0}S\_n=n\; u\_0$.

Les valeurs S₁, S₂, puis S₃ sont les sommes partielles de la série géométrique associée. Si le module de la raison, c’est-à-dire sa valeur absolue lorsque r est réel, est strictement inférieur à 1, la puissance rⁿ tend vers 0 quand n grandit. Les sommes partielles convergent alors vers $\frac{u_0}{1-r}\backslash frac\{u\_0\}\{1-r\}$.

Le calcul réunit trois données et un résultat. Le premier terme u₀ fixe le départ. La raison r règle le passage d’un terme au suivant. Le nombre n indique combien de termes sont additionnés. La puissance rⁿ, calculée à partir de r et de n, intervient dans le quotient de la formule. La somme S_n est le résultat recherché.

Ces éléments dépendent les uns des autres : changer r modifie tous les termes après u₀, tandis que changer n déplace le dernier terme inclus et la puissance utilisée. Dans l’exemple des jetons, u₀ vaut 80, r vaut 1/2 et n vaut 5 ; ces trois données suffisent à construire 80, 40, 20, 10, 5 et à calculer leur total. Le tracé ou la couleur d’une représentation ne définissent pas la suite.

On rassemble cinq paquets de jetons, chaque paquet ayant deux fois moins de jetons que le précédent.
Données :
• premier terme u₀ : 80 jetons ;
• raison r : 1/2 ;
• nombre de termes n : 5 ;
• termes annoncés : 80, 40, 20, 10 et 5 jetons.

1. Vérifier la progression : 40 = 80 × 1/2, puis le même facteur donne 20, 10 et 5.
2. Calculer la puissance liée au nombre de termes : (1/2)⁵ = 1/32.
3. Remplacer les données dans la formule : $S_5=80\frac{1-(1\mathrm{/}2{)}^5}{1-1\mathrm{/}2}S\_5=80\backslash frac\{1-(1/2)^5\}\{1-1/2\}$.
4. Simplifier : $S_5=80\times \frac{31}{32}\times 2=155S\_5=80\backslash times\backslash frac\{31\}\{32\}\backslash times2=155$.

Les cinq paquets contiennent donc 155 jetons. Le contrôle par addition redonne 80 + 40 + 20 + 10 + 5 = 155. Si les moitiés se poursuivent indéfiniment, la limite vaut 80 ÷ (1 − 1/2) = 160 jetons. Une barre partagée selon les cinq paquets rend visible que le total 155 reste 5 jetons sous cette limite.

Pour totaliser des quantités qui changent toujours selon le même multiplicateur, repérez le premier terme, la raison et le nombre de termes. La formule géométrique convient lorsque chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même raison. Lorsque les termes pris comme dénominateurs sont non nuls, on peut le vérifier en contrôlant que le quotient de deux termes consécutifs reste constant. Si c’est leur différence qui reste constante, une somme de suite arithmétique est l’alternative adaptée.

Pour une diminution répétée d’un pourcentage strictement positif et au plus égal à 100 %, la raison est au moins nulle et strictement inférieure à 1. Une somme finie donne le total après un nombre fixé d’étapes. Lorsque u₀ ≠ 0, la limite u₀/(1 − r) devient pertinente seulement si les étapes se poursuivent sans fin et si |r| < 1. Si u₀ = 0, toutes les sommes partielles sont nulles et convergent quelle que soit la raison r.

Pour contrôler un résultat, additionnez directement quelques termes lorsque leur nombre est petit. Dans l’exemple, 155 se vérifie immédiatement. Pour beaucoup de termes, vérifiez plutôt le comptage des indices et remplacez séparément u₀, r et n avant de simplifier.

Suite géométrique et suite arithmétique. Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même raison ; dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante. La liste 80, 40, 20, 10, 5 est géométrique de raison 1/2, mais ses écarts ne sont pas constants.

Terme et somme partielle. Le terme d’indice n décrit une seule valeur de la suite, tandis que S_n additionne n valeurs à partir de u₀. Dans l’exemple, le cinquième terme vaut 5 jetons, alors que la somme des cinq premiers termes vaut 155 jetons.

Somme finie et série géométrique. Une somme finie comporte un nombre fixé de termes. Une série étudie la limite des sommes partielles quand ce nombre augmente sans borne. Avec u₀ = 80 et r = 1/2, 155 est une somme finie, tandis que 160 est la limite des sommes partielles, c’est-à-dire la somme de la série géométrique convergente.

Raison égale à 1. Le dénominateur 1 − r devient nul : la formule par quotient est alors inutilisable. Tous les termes valent u₀, donc il faut calculer n × u₀.

Décalage d’un indice. De u₀ à u_n−1, il y a n termes ; de u₀ à u_n, il y en a n + 1. Si le dernier indice est confondu avec le nombre de termes, la puissance utilisée est décalée. Il faut compter les termes avant de remplacer n.

Frontière de convergence. La limite u₀/(1 − r) s’emploie lorsque |r| < 1. À |r| = 1 ou au-delà, rⁿ ne tend pas vers 0 en général ; cette conclusion ne s’applique donc pas. La suite nulle, obtenue lorsque u₀ = 0, reste un cas particulier constant.

Raison négative ou complexe. La formule finie reste valable pour r ≠ 1, mais les termes peuvent alterner ou changer de direction dans le plan complexe. Il ne faut pas attendre des sommes partielles toujours croissantes ; le critère de convergence porte sur |r|.

suite géométrique — Revoir la construction des termes et le rôle constant de la raison avant de les additionner.

Série géométrique — Prolonger les sommes partielles vers une somme infinie lorsque la condition de convergence est satisfaite.

suite arithmétique — Distinguer une multiplication constante d’un écart constant et choisir la bonne formule de somme.