AnalyseNotion · Glossaire
Holomorphie sous le signe intégral
L'holomorphie sous le signe intégral est un théorème permettant de passer la dérivation complexe sous un signe d'intégrale. Si f(z, t) est holomorphe en z pour presque tout t, mesurable en t, et si une condition de domination est satisfaite, alors la fonction F(z) définie par l'intégrale de f(z, t) par rapport à t est holomorphe et sa dérivée s'obtient en dérivant sous le signe intégral. C'est l'analogue complexe du théorème de dérivation sous le signe intégral de Lebesgue et est fondamental en analyse complexe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses d’holomorphie, de mesurabilité et de domination locale.
- Dériver une intégrale à paramètre complexe dans un exemple entièrement calculé.
- Repérer le seuil où la domination et l’intégrabilité cessent dans l’exemple.
En clair
Imaginez une infinité de petites contributions, repérées par un nombre t, que l'on additionne par une intégrale. Chacune dépend aussi d'un nombre complexe z. On voudrait faire varier z, puis dériver le total sans recommencer toute l'intégration.
Le théorème autorise cet échange lorsque chaque contribution varie holomorphiquement et qu'une fonction intégrable les contrôle uniformément autour de chaque valeur de z. L'intégrale conserve alors l'holomorphie, et sa dérivée se calcule contribution par contribution.
Définition
Soit U un ouvert du plan complexe et soit t une variable dans un espace mesuré. On considère une fonction f de z et t. Pour presque toute valeur de t, l'application qui à z associe f(z, t) doit être holomorphe sur U. Pour chaque z, la dépendance en t doit être mesurable.
La domination est locale en z : pour tout compact K contenu dans U, il existe une fonction intégrable gK telle que pour tout z de K et presque tout t. L'intégrale définit alors une fonction F holomorphe et la dérivation passe sous le signe intégral :
La domination de f elle-même suffit dans cette formulation. Les estimations de Cauchy fournissent localement le contrôle nécessaire sur sa dérivée. Le demi-plan et le compact rectangulaire de l'exemple guidé rendent visible le caractère local de cette hypothèse.
Un exemple, pas à pas
On prend t dans [0, +∞[ et z dans le demi-plan défini par Re(z) < 1. La fonction intégrée est . Sur un compact K, on note a le maximum des parties réelles de ses points ; ainsi a < 1.
1. Pour tout z de K, le module de l'intégrande est majoré par . Cette fonction est intégrable sur [0, +∞[ puisque 1 − a est strictement positif.
2. L'intégrale se calcule directement.
3. En dérivant l'intégrande par rapport à z, on obtient . Le théorème donne alors l'égalité suivante.
Le contrôle consiste à dériver directement 1/(1 − z) : on retrouve exactement 1/(1 − z)2. Pour z = 0, les deux calculs donnent la valeur 1.
En pratique
Pour étudier une intégrale dépendant d'un paramètre complexe, on cherche d'abord un ouvert où l'intégrande est holomorphe. On enferme ensuite les valeurs de z considérées dans un compact et on construit un majorant intégrable indépendant de z sur ce compact.
Si le but est seulement de passer à la limite dans une suite d'intégrales, le théorème de convergence dominée est l'outil naturel. L'holomorphie sous le signe intégral devient préférable lorsque le paramètre est complexe et que l'on veut aussi calculer une dérivée complexe.
Lorsque majorer la dérivée de l'intégrande serait difficile, on essaie plutôt de dominer l'intégrande sur des compacts un peu plus grands. Les inégalités de Cauchy transmettent alors ce contrôle à la dérivée.
À ne pas confondre
Avec le théorème de convergence dominée. Celui-ci échange une limite et une intégrale, mais ne conclut pas à l'holomorphie. Si une suite varie avec un indice entier, on examine sa convergence ; si un paramètre complexe varie dans un ouvert et que l'on vise une dérivée, on examine l'holomorphie sous le signe intégral.
Avec la dérivation sous le signe intégral pour un paramètre réel. Ce résultat vise la dérivabilité sur un intervalle réel et demande souvent un contrôle de la dérivée. Le critère qui tranche est le domaine du paramètre : dans l'exemple conducteur, z parcourt un ouvert complexe, donc une conclusion seulement réelle ne suffit pas à établir l'holomorphie.
Limites et pièges
Domination seulement ponctuelle. Un majorant qui dépend librement de z ne donne pas le contrôle uniforme requis. Le symptôme est l'impossibilité de choisir une même fonction intégrable pour tout un compact. Il faut restreindre le domaine ou construire un majorant local commun.
Approche du bord. Dans l'exemple, la domination fonctionne sur tout compact du demi-plan Re(z) < 1. Au seuil Re(z) = 1, le module de l'intégrande ne décroît plus avec t et l'intégrale sur [0, +∞[ diverge. Il ne faut donc pas prolonger la conclusion jusqu'au bord.
Ensemble exceptionnel variable. « Pour presque tout t » signifie qu'un même ensemble négligeable est écarté avant d'étudier toutes les valeurs de z. Si l'ensemble exceptionnel change avec z, il faut d'abord établir une version commune des hypothèses.
Contrôle de la dérivée. Exiger d'emblée un majorant intégrable de la dérivée est une hypothèse suffisante courante, mais plus forte que la formulation présentée ici. Si elle manque, on revient à une domination locale de f et aux estimations de Cauchy.
Pour aller plus loin
fonction holomorphe — Pour revoir la notion de dérivabilité complexe que l'intégration préserve.
théorème de convergence dominée de Lebesgue — Pour comparer l'échange d'une limite avec une intégrale sous une domination intégrable.
intégrale de Lebesgue — Pour approfondir le cadre mesuré dans lequel porte la domination.
Aux origines de l’analyse complexe — Pour replacer l'holomorphie dans le développement historique de l'analyse complexe.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres