AnalyseThéorème · Glossaire
Morera (théorème de)
Le théorème de Morera est un résultat d'analyse complexe qui fournit une réciproque partielle au théorème de Cauchy. Il affirme que si une fonction continue f sur un domaine ouvert D du plan complexe a une intégrale nulle sur tout triangle contenu dans D, alors f est holomorphe dans D. Ce théorème est utile pour démontrer l'holomorphie de fonctions définies par des intégrales ou des limites, car il permet d'éviter de calculer directement la dérivée complexe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la continuité et l’annulation sur tout triangle comme les deux hypothèses du critère.
- Distinguer le sens de Morera de celui du théorème de Cauchy-Goursat.
- Suivre la preuve d’holomorphie d’une fonction définie par une intégrale paramétrée.
- Reconnaître les triangles non admissibles et les contrôles insuffisants.
En clair
Imaginez que l’on parcoure le bord d’un triangle dans le plan complexe en additionnant les valeurs d’une fonction le long du trajet. Si ce bilan est nul pour chaque triangle que l’on peut tracer dans une région, les valeurs ne révèlent aucune circulation locale.
Le théorème de Morera transforme ce constat en une propriété forte. Dès que la fonction est aussi continue, il garantit qu’elle possède une dérivée complexe en chaque point de la région : elle est holomorphe.
Définition
Le théorème de Morera est un critère d’holomorphie fondé sur des intégrales de contour. On considère un ouvert D du plan complexe et une fonction f, définie sur D à valeurs complexes. La fonction f doit être continue. Pour chaque triangle T dont les côtés et l’intérieur sont contenus dans D, on note ∂T son bord parcouru dans le sens positif. L’hypothèse intégrale s’écrit .
Si cette égalité vaut pour tout triangle T admissible, alors f est holomorphe sur D. Le résultat est une réciproque partielle du théorème de Cauchy-Goursat : celui-ci part de l’holomorphie pour obtenir l’annulation des intégrales, tandis que Morera part de la continuité et de cette annulation pour retrouver l’holomorphie. Le caractère partiel vient des hypothèses précises du critère, notamment la continuité et le test sur tous les triangles contenus dans D.
Le principe
Soit D un ouvert du plan complexe et soit f une fonction continue de D vers les nombres complexes. Si, pour tout triangle T dont les côtés et l’intérieur sont contenus dans D, l’intégrale de f sur le bord orienté ∂T vérifie , alors f est holomorphe sur D.
Quand l'utiliser
Le critère s’applique sur un ouvert D du plan complexe. Il faut vérifier deux conditions distinctes : f est continue sur D, et son intégrale est nulle sur le bord de chaque triangle dont les côtés et l’intérieur restent dans D. La conclusion obtenue est locale : f est holomorphe en tout point de D.
Dans un domaine représenté par une région jaune, le critère porte sur toute frontière triangulaire qui reste entièrement dans la région. Un triangle qui en sort, même partiellement, n’entre pas dans l’hypothèse.
La continuité seule ne suffit pas. Pour la fonction qui associe à z son conjugué, le triangle de sommets 0, 1 et i donne , et non zéro. Morera ne permet donc pas de conclure ; il faut rejeter le critère ou employer un autre test d’holomorphie.
Un exemple, pas à pas
Sur le plan complexe, on définit la fonction F en intégrant le paramètre réel t entre 0 et 1 : . Les données sont l’intervalle fermé [0, 1], un nombre complexe z et un triangle arbitraire T. L’objectif est de prouver que F est holomorphe sans calculer sa dérivée.
1. La fonction de deux variables qui associe etz à t et z est continue ; son intégrale par rapport à t définit donc une fonction F continue.
2. On intègre F sur le bord de T et on échange les deux intégrations, ce que la continuité autorise sur ces parcours compacts :
2. On intègre F sur le bord de T et on échange les deux intégrations, ce que la continuité autorise sur ces parcours compacts :
3. Pour chaque valeur fixée de t, la fonction de z donnée par etz est holomorphe. Le théorème de Cauchy annule donc l’intégrale intérieure.
4. L’intégrale sur ∂T vaut zéro pour tout triangle T. Comme F est continue, Morera prouve que F est holomorphe. Un contrôle direct est possible : pour z non nul, , et la valeur F(0) = 1 comble la singularité apparente.
4. L’intégrale sur ∂T vaut zéro pour tout triangle T. Comme F est continue, Morera prouve que F est holomorphe. Un contrôle direct est possible : pour z non nul, , et la valeur F(0) = 1 comble la singularité apparente.
En pratique
Pour une fonction définie par une intégrale dépendant d’un paramètre complexe, on établit d’abord la continuité. On intègre ensuite sur un triangle et on échange les intégrations lorsque les hypothèses le permettent. Si l’intégrale intérieure s’annule, Morera évite une dérivation sous le signe intégral. Quand cette dérivation est immédiatement justifiable, le calcul direct reste l’alternative la plus courte.
Pour une limite localement uniforme de fonctions holomorphes, la limite est continue et les intégrales sur les bords triangulaires passent à la limite. Morera donne alors l’holomorphie de la fonction limite. Si la convergence n’est que ponctuelle, ce passage n’est pas garanti ; il faut renforcer le contrôle de convergence ou choisir un autre théorème.
À ne pas confondre
Théorème de Morera et théorème de Cauchy-Goursat. Les deux relient holomorphie et intégrales nulles, mais dans des sens opposés. Cauchy-Goursat suppose la fonction holomorphe et conclut que l’intégrale sur un triangle est nulle. Morera suppose la fonction continue et toutes ces intégrales nulles, puis conclut qu’elle est holomorphe.
Holomorphie et simple continuité. Une fonction holomorphe est continue, mais la réciproque est fausse. La fonction z ↦ est continue et échoue au test triangulaire donné plus haut. L’annulation des intégrales est donc la condition qui tranche.
Limites et pièges
Quelques triangles ne suffisent pas. Obtenir zéro sur un triangle particulier, ou même sur une collection choisie, ne vérifie pas l’hypothèse générale. Il faut couvrir tout triangle contenu dans D, ou fournir un argument qui étend rigoureusement le test à tous les triangles admissibles.
Le triangle entier doit rester dans D. Ses trois sommets ne suffisent pas si un côté ou une partie de son intérieur sort de l’ouvert. Dans ce cas, l’intégrale peut faire intervenir des points où f n’est pas définie ; ce triangle doit être écarté.
La continuité fait partie du théorème. L’annulation formelle d’intégrales sans contrôle de régularité ne permet pas d’invoquer la version usuelle de Morera. Il faut d’abord établir la continuité de f, notamment lors d’un passage à la limite ou d’une intégration paramétrée.
Les trous du domaine ne bloquent pas la conclusion locale. Morera conclut à l’holomorphie sur D sans exiger que D soit simplement connexe. En revanche, il ne faut pas en déduire automatiquement l’existence d’une primitive globale ; cette question demande une hypothèse topologique supplémentaire.
Pour aller plus loin
Le théorème de Cauchy présente le sens direct qui annule les intégrales de contour pour les fonctions holomorphes.
La fiche fonction holomorphe précise la propriété locale que le critère de Morera permet d’établir.
La notion de fonction analytique prolonge l’étude vers les développements locaux en séries entières.
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