Goursat (théorème de)

Imaginez que l’on suive au crayon les trois côtés d’un triangle, puis que l’on revienne au point de départ. Une fonction holomorphe transforme chaque petit déplacement en une contribution complexe. Le théorème de Goursat affirme que, si le triangle et son intérieur restent dans la zone où la fonction est holomorphe, toutes ces contributions se compensent exactement.

Le point décisif est qu’il n’est pas nécessaire de supposer la dérivée continue. L’existence de la dérivée complexe en chaque point suffit.

Le théorème de Goursat est une forme triangulaire du théorème intégral de Cauchy. On considère un ouvert du plan complexe, noté Ω, et une fonction f à valeurs complexes. Si f est dérivable au sens complexe en tout point de Ω, autrement dit holomorphe sur Ω, alors son intégrale le long du bord orienté de tout triangle dont le triangle plein est contenu dans Ω est nulle.

En notant T le triangle plein et ∂T son bord orienté, l’énoncé s’écrit : $T\subset \mathrm{\Omega }⟹{\int }_{\mathrm{\partial }T}f(z)dz=0T\backslash subset\backslash Omega\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\backslash int\_\{\backslash partial\; T\}\; f(z)\backslash ,dz=0$. La notation z désigne la variable complexe. La preuve repose sur des subdivisions successives du triangle et n’exige pas la continuité de la dérivée f′.

Une fonction continue sur Ω et holomorphe hors d’un nombre fini de points y est bien holomorphe partout, mais cette propriété est un prolongement obtenu notamment avec le critère de Morera. Elle ne doit pas être confondue avec l’énoncé fondamental de Goursat.

Soit Ω un ouvert du plan complexe et soit f une fonction holomorphe sur Ω. Si un triangle plein T, bord compris, est contenu dans Ω, alors l’intégrale de f sur le bord ∂T, parcouru dans un sens fixé, est nulle : ${\int }_{\mathrm{\partial }T}f(z)dz=0\backslash int\_\{\backslash partial\; T\}\; f(z)\backslash ,dz=0$. Aucune continuité de la dérivée f′ n’est ajoutée aux hypothèses.

Il faut vérifier trois points : Ω est ouvert ; f est holomorphe en chaque point de Ω ; le triangle plein, et pas seulement ses trois côtés, est inclus dans Ω. L’ouvert n’a pas besoin d’être étoilé pour cet énoncé local sur un triangle. Le sens de parcours peut être inversé : l’intégrale change alors de signe, mais reste nulle.

Si l’intérieur rencontre un point où f n’est pas holomorphe, le théorème ne s’applique pas. Par exemple, la fonction 1/z est holomorphe sur le plan privé de 0, mais un triangle entourant 0 n’y est pas contenu comme triangle plein ; son intégrale de bord peut valoir $2\pi i2\backslash pi\; i$. Il faut alors isoler les singularités et employer les outils adaptés aux résidus.

On prend la fonction f définie par f(z)=z² et le triangle orienté de sommets 0, 1 et i, parcouru dans cet ordre. Les données sont donc les trois côtés 0→1, 1→i et i→0. La fonction est holomorphe sur tout le plan complexe, et le triangle plein y est contenu.

1. Sur le côté 0→1, une primitive de z² est z³/3, donc l’intégrale vaut 1/3.
2. Sur le côté 1→i, elle vaut (i³−1)/3, soit (−1−i)/3.
3. Sur le côté i→0, elle vaut (0−i³)/3, soit i/3.

La somme est $\frac{1}{3}+\frac{-1-i}{3}+\frac{i}{3}=0\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{-1-i\}\{3\}+\backslash frac\{i\}\{3\}=0$. Ce calcul vérifie la conclusion de Goursat. Un contrôle immédiat consiste à observer que chaque valeur intermédiaire de la primitive s’annule avec la suivante quand le contour revient à son point de départ.

Pour vérifier une intégrale sur un contour triangulaire, on contrôle d’abord que la fonction est holomorphe sur tout le triangle plein. Si c’est le cas, Goursat donne immédiatement zéro ; si une singularité isolée se trouve à l’intérieur et que les hypothèses du théorème des résidus sont satisfaites, on peut plutôt recourir aux résidus. Dans les autres cas, il faut choisir un outil adapté au type de singularité.

Dans une preuve, on découpe souvent un polygone en triangles. Goursat annule l’intégrale sur chaque bord triangulaire, tandis que les contributions portées par les arêtes intérieures s’annulent deux à deux. Pour un contour non polygonal, une version plus générale du théorème de Cauchy est mieux adaptée.

Pour établir qu’une fonction continue sur un ouvert est holomorphe, le geste est inverse : si ses intégrales sont nulles sur les bords de tous les triangles pleins contenus dans cet ouvert, le théorème de Morera fournit le verdict. Goursat part donc de l’holomorphie ; Morera la conclut.

Avec le théorème intégral de Cauchy. Goursat traite directement le bord d’un triangle et montre surtout que la continuité de f′ est inutile. Les formulations de Cauchy étendent ensuite l’annulation à d’autres contours sous des hypothèses topologiques appropriées. Un contour courbe fermé relève donc plutôt de cette extension.

Avec le théorème de Morera. Le sens logique les sépare. Goursat suppose f holomorphe et conclut que les intégrales triangulaires sont nulles. Morera suppose f continue et ces intégrales nulles, puis conclut que f est holomorphe.

Un ensemble exceptionnel de mesure nulle ne suffit pas en général. La continuité d’une fonction et son holomorphie hors d’un ensemble plan de mesure nulle ne garantissent pas, à elles seules, qu’elle soit holomorphe partout. Il faut des hypothèses de prolongement plus précises ; le cas d’un nombre fini de points est, lui, amovible sous l’hypothèse de continuité.

Le bord seul ne suffit pas. Une fonction peut être holomorphe au voisinage des trois côtés tout en ayant une singularité à l’intérieur. Le symptôme est que le triangle plein n’est pas inclus dans le domaine d’holomorphie. Il faut examiner l’intérieur avant d’annuler l’intégrale.

La connexité n’est pas le point décisif. L’ouvert Ω peut avoir plusieurs composantes : chaque triangle plein qu’il contient reste dans une seule composante. En revanche, remplacer « ouvert » par un ensemble fermé prive l’holomorphie de son voisinage nécessaire.

Le théorème de Cauchy étend l’annulation de l’intégrale à des contours plus généraux et met en jeu la géométrie du domaine.

Le théorème de Morera inverse le raisonnement : la nullité des intégrales triangulaires devient un critère d’holomorphie pour une fonction continue.

La notion de fonction holomorphe précise le type de dérivabilité complexe qui constitue l’hypothèse centrale du théorème.