suite de Sturm

Imaginez la courbe d’un polynôme qui coupe l’axe horizontal plusieurs fois. Au lieu de chercher chaque point de coupe, on fabrique une courte chaîne de polynômes à partir du premier et de sa dérivée.

À chaque extrémité de l’intervalle, on relève seulement les signes de cette chaîne. Pour une suite de Sturm valide et des bornes qui ne sont pas des racines du polynôme, si le nombre d’alternances passe de 3 à 1, le polynôme possède exactement 2 racines entre les deux bornes. La suite de Sturm convertit ainsi une question sur une courbe en un comptage de signes.

Soit P un polynôme réel de degré n sans racine multiple. Dans l’indexation usuelle, le premier terme S₀ est P et le deuxième, S₁, est sa dérivée P′. Chaque terme suivant est l’opposé du reste de la division euclidienne des deux termes précédents. Les degrés décroissent et la construction s’arrête à une constante non nulle :La notation P, P₀, P₁, … de la définition de référence décrit la même chaîne avec un décalage d’indices.

Pour un réel x, on note V(x) le nombre de changements de signe dans la liste S₀(x), S₁(x), …, après suppression des éventuels termes nuls. Si les réels a et b vérifient a < b et ne sont pas des racines de P, le nombre N de racines de P dans l’intervalle ouvert ]a, b[ est :Dans le cadre retenu, toutes les racines sont simples, donc ce nombre ne cache aucune multiplicité.

Énoncé par Sturm en 1829, ce théorème prolonge les travaux sur la séparation des racines menés par Descartes en 1637, Rolle en 1690 et Budan en 1811. Une fois chaque racine séparée dans son intervalle, une méthode itérative peut en calculer une approximation.

La construction réunit cinq éléments. Le polynôme P fixe les racines à compter. Sa dérivée P′ amorce la chaîne. Les restes changés de signe dépendent chacun des deux polynômes précédents et font décroître les degrés jusqu’à une constante non nulle. Les deux listes de valeurs, calculées aux bornes a et b, fournissent enfin les signes. Le compteur V transforme chaque liste en un nombre d’alternances.

Les divisions construisent donc la suite avant toute évaluation ; les bornes n’interviennent qu’ensuite. La différence V(a) − V(b) suffit à compter les racines situées entre elles, sans avoir encore à calculer leurs valeurs décimales.

Comptons les racines de P(x) = x³ − x dans l’intervalle ]−2 ; 0,5[. Les bornes choisies ne sont pas des racines.

Données :
polynôme : P(x) = x³ − x ;
borne gauche : a = −2 ;
borne droite : b = 0,5.

1. Le premier terme est S₀(x) = x³ − x et sa dérivée est S₁(x) = 3x² − 1.
2. Les divisions euclidiennes donnent les deux termes suivants :

3. En a = −2, les valeurs sont −6, 11, −4/3 et 1. La suite de signes −, +, −, + comporte donc V(−2) = 3 changements.
4. En b = 0,5, les valeurs sont −3/8, −1/4, 1/3 et 1. La suite −, −, +, + comporte V(0,5) = 1 changement.
5. Le théorème donne 3 − 1 = 2 racines dans l’intervalle.

Le contrôle se refait en factorisant P(x) = x(x − 1)(x + 1) : les racines −1 et 0 appartiennent à ]−2 ; 0,5[, tandis que 1 est hors de l’intervalle. Le comptage 2 est confirmé.

Pour savoir si un intervalle ouvert contient une racine réelle, on applique le théorème dans le cadre présenté et on calcule V à deux bornes qui ne sont pas des racines du polynôme. Une différence nulle certifie alors l’absence de racine ; un simple tracé de courbe ne fournit qu’une indication visuelle.

Pour séparer plusieurs racines, on coupe l’intervalle en deux et on recommence le comptage dans chaque moitié. Si le point de coupure annule le polynôme, on traite d’abord cette racine séparément et on choisit des bornes qui n’annulent pas le polynôme avant de poursuivre. Dès qu’une moitié reçoit le nombre 1, elle isole une racine ; si elle en reçoit davantage, on la subdivise encore.

Une fois une racine isolée, une méthode itérative comme la méthode de Newton peut en chercher une valeur numérique. Sturm est préférable lorsqu’il faut d’abord garantir combien de racines sont présentes ; Newton intervient lorsque l’objectif devient leur approximation.

La méthode de Newton cherche une approximation d’une racine à partir d’une valeur initiale. La suite de Sturm donne plutôt un nombre exact de racines dans un intervalle : obtenir 2 dans ]−2 ; 0,5[ ne fournit pas leurs décimales.

Une étude de signe de P repère les changements de signe du polynôme lui-même. Une racine simple peut être détectée ainsi lorsqu’elle est encadrée, mais Sturm compte les alternances de toute une suite : dans l’exemple, ce sont quatre signes à chaque borne qui établissent le total.

Une borne ne doit pas être une racine dans la formule utilisée ici. Si P(a) = 0 ou P(b) = 0, le symptôme est un premier terme nul dans la liste de signes. Il faut déplacer la borne ou traiter séparément la racine située à l’extrémité avant de compter l’intervalle ouvert.

La version énoncée suppose des racines simples. Une racine multiple rend P et P′ nuls au même point et le dernier reste peut ne pas être une constante. Pour appliquer cette version, on commence par retirer le facteur commun de P et P′ afin d’obtenir la partie sans racine multiple.

Les zéros intermédiaires ne sont pas des signes. Si une valeur S_i(x) vaut 0 alors que P(x) ne vaut pas 0, la compter comme « + » ou « − » fausse V(x). Il faut supprimer cette valeur nulle et comparer les signes non nuls qui l’encadrent.

La fiche Division euclidienne détaille l’opération qui produit chaque reste de la suite.

Le glossaire Séparable (polynôme) précise la condition d’absence de racines multiples utilisée dans cette version du théorème.

La méthode de Newton prend le relais lorsque les racines séparées doivent être approchées numériquement.