règle des signes de Descartes

Pour estimer les racines positives d’un polynôme, on peut commencer par regarder ses coefficients. On les lit dans l’ordre des puissances décroissantes et on ignore les coefficients nuls. Chaque passage de + à −, ou de − à +, compte comme un changement de signe. Le nombre obtenu donne une liste de possibilités pour le nombre de racines positives. Par exemple, la suite +, −, +, − comporte trois changements : le polynôme peut donc avoir trois ou une racine positive, en tenant compte des multiplicités.

La règle des signes de Descartes est un critère de majoration appliqué à un polynôme non nul à coefficients réels. Après avoir rangé ses termes selon les puissances décroissantes de x, on forme la suite de ses coefficients non nuls. Si cette suite présente n changements de signe consécutifs, le nombre de racines réelles strictement positives, comptées avec leur multiplicité, appartient à la liste n, n−2, n−4, … jusqu’à un entier non négatif. Il est donc égal à n diminué d’un nombre pair positif ou nul. Le critère porte sur les racines strictement positives du polynôme considéré. Pour étudier les racines négatives, on remplace x par −x et on compte les changements dans le polynôme obtenu. Si aucun changement n’apparaît, il n’existe aucune racine réelle positive ; cette conclusion ne concerne pas les racines négatives ni la racine nulle. La règle fournit une borne et des possibilités, mais elle ne localise pas les racines et ne permet pas toujours d’en connaître le nombre exact.

Soit p un polynôme réel non nul, ordonné par puissances décroissantes, et soit n le nombre de changements de signe dans la suite de ses coefficients non nuls. Alors le nombre de ses racines positives, avec multiplicité, vaut l’un des entiers suivants : n, n−2, n−4, …, jusqu’au dernier entier non négatif. En particulier, n = 0 entraîne l’absence de racine positive. Pour les racines négatives, le même énoncé s’applique après la substitution x ↦ −x.

Le polynôme doit être non nul et ses coefficients doivent être réels. Il faut le lire selon les puissances décroissantes de la variable, en supprimant les coefficients nuls avant de compter les changements. Le résultat concerne les racines strictement positives et compte chaque racine autant de fois que sa multiplicité. La règle ne donne pas directement les racines ni nécessairement leur nombre exact. Par exemple, trois changements autorisent trois ou une racine positive. Pour les racines négatives, le polynôme de départ ne suffit pas : il faut d’abord construire p(−x), puis appliquer le même comptage. La racine x = 0 se traite séparément, en vérifiant le terme constant.

Considérons le polynôme p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. Données : les coefficients non nuls sont +1, −6, +11 et −6 ; la variable est x ; le critère vise d’abord les racines positives.

On lit la suite +, −, +, −. Elle passe de + à −, puis de − à +, puis de + à − : il y a donc n = 3 changements de signe.

Le nombre de racines positives est alors 3 ou 1, avec multiplicité. Ici, une factorisation permet de contrôler le résultat : p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3), donc les racines positives sont 1, 2 et 3, chacune de multiplicité 1. Leur nombre total est exactement 3.

Pour contrôler la partie négative, p(−x) = −x³ − 6x² − 11x − 6. Tous ses coefficients sont négatifs, donc il n’y a aucun changement de signe et p n’a aucune racine négative. Le terme constant vaut −6, donc 0 n’est pas une racine.

Pour obtenir rapidement une borne sur les racines positives, écrivez les coefficients dans l’ordre décroissant des puissances, retirez les zéros, puis comptez les alternances de signe. La liste n, n−2, n−4, … donne les nombres encore possibles.

Pour rechercher les racines négatives, remplacez x par −x avant de compter. Si une valeur exacte est nécessaire, complétez ce premier diagnostic par une factorisation, un calcul numérique ou une autre méthode de résolution adaptée au polynôme.

Pour vérifier la racine nulle, regardez le terme constant : il doit être nul pour que x = 0 soit racine. Ce test est distinct du comptage des signes, qui concerne les racines strictement positives ou strictement négatives.

La règle des signes de Descartes ne se confond pas avec la factorisation. Pour p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6, le comptage donne deux possibilités — 3 ou 1 — tandis que la factorisation p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) identifie les trois racines. Le critère fournit donc une information préalable, et non la résolution complète du polynôme.

Elle ne se confond pas non plus avec le nombre de changements dans p(−x). Les changements de signe dans la suite des coefficients de p(x) renseignent sur les racines positives ; ceux de la suite des coefficients de p(−x) renseignent sur les racines négatives. Le polynôme conducteur a trois changements dans p(x), mais aucun dans p(−x).

Les coefficients nuls ne comptent pas comme des signes. Dans la suite +, 0, −, le zéro est supprimé : il reste un seul changement. Compter le passage vers ou depuis 0 fabriquerait une alternance qui n’existe pas dans l’énoncé.

Le cas n = 0 est charnière : il interdit toute racine strictement positive, mais ne dit rien des racines négatives et ne règle pas le cas x = 0. Ce dernier se vérifie avec le terme constant.

La différence entre n et le nombre réel de racines positives est toujours paire. Ainsi, n = 3 autorise 3 ou 1 racine positive, mais pas 2 ni 0. Une racine multiple est comptée plusieurs fois : une racine double contribue deux unités au total.

Le polynôme nul est exclu : sa suite de coefficients ne fournit pas un degré et un comptage utilisables. Enfin, des coefficients complexes ne possèdent pas l’ordre de signes réel requis ; la règle ne s’y applique donc pas telle quelle.

Pour affiner le simple comptage global de la règle des signes, on peut utiliser une suite de Sturm associée au polynôme réel. Si les bornes de l’intervalle ne sont pas des racines, la différence entre le nombre de variations de signe de cette suite aux deux bornes donne le nombre de racines réelles distinctes dans l’intervalle. La règle de Descartes fournit une première information sur l’ensemble des racines positives, tandis que la suite de Sturm en précise la répartition.