Roth Klaus

En 1955, en Angleterre, Klaus Friedrich Roth établit une limite fondamentale sur l’approximation des nombres par des fractions. Imaginez que l’on cherche des fractions toujours plus proches d’un nombre algébrique irrationnel : leurs dénominateurs grandissent, mais la précision ne peut pas s’améliorer indéfiniment à n’importe quelle vitesse.

Le théorème de Roth fixe la frontière à l’exposant 2. Dès que l’on exige un exposant strictement supérieur à 2, seules un nombre fini de fractions peuvent satisfaire cette exigence. Ce résultat valut à Roth la médaille Fields en 1958.

Klaus Friedrich Roth est un mathématicien britannique né en Allemagne, formé à Cambridge puis à Londres. Ses recherches portent principalement sur la théorie analytique des nombres, l’approximation diophantienne et les irrégularités de distribution. En 1955, il démontra le théorème de Roth, aussi appelé théorème de Thue-Siegel-Roth. Il reçut la médaille Fields en 1958 pour cette contribution.

Le théorème concerne un nombre algébrique irrationnel, noté α, c’est-à-dire un nombre irrationnel qui est solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. On l’approche par un nombre rationnel écrit comme une fraction p/q, où p est un entier et q un entier strictement positif. Pour tout nombre réel ε strictement positif, il n’existe qu’un nombre fini de telles fractions vérifiant . Autrement dit, un exposant d’approximation strictement supérieur à 2 ne peut être atteint une infinité de fois.

La figure met en regard l’échelle frontière d’exposant 2 et une exigence plus forte d’exposant 2,1. Le théorème ne dit pas qu’aucune approximation exceptionnelle n’existe : il affirme qu’elles sont en nombre fini dès que l’exposant dépasse 2. Il ne remplace donc pas le cas charnière où l’exposant vaut exactement 2.

Considérons un nombre algébrique irrationnel α et des fractions p/q. Prenons un exposant supérieur à 2 en choisissant ε = 0,1, puis observons les dénominateurs q = 100 et q = 1 000.

1. L’exposant demandé vaut 2 + 0,1 = 2,1. L’erreur d’approximation devrait donc être inférieure à $q^{-\mathrm{2,1}}q^\{-2\{,\}1\}$.

2. Pour q = 100, le seuil vaut ${100}^{-\mathrm{2,1}}={10}^{-\mathrm{4,2}}\approx \mathrm{0,0000631}100^\{-2\{,\}1\}=10^\{-4\{,\}2\}\backslash approx\; 0\{,\}0000631$. Une fraction candidate doit être plus proche de α que ce seuil.

3. Pour q = 1 000, le seuil devient ${1000}^{-\mathrm{2,1}}={10}^{-\mathrm{6,3}}\approx \mathrm{0,000000501}1000^\{-2\{,\}1\}=10^\{-6\{,\}3\}\backslash approx\; 0\{,\}000000501$. L’exigence se resserre fortement lorsque le dénominateur grandit.

4. Le contrôle consiste à comparer chaque erreur |α − p/q| au seuil correspondant. Le théorème garantit que, pour α fixé et ε = 0,1, seules un nombre fini de fractions franchissent ce test, même si l’on poursuit la recherche avec des dénominateurs toujours plus grands.

Pour lire une affirmation d’approximation diophantienne, on repère d’abord la nature du nombre approché, puis l’exposant placé sur le dénominateur. Si le nombre est algébrique irrationnel et si l’exposant dépasse 2, le théorème de Roth exclut une infinité de réussites.

Pour tester une fraction précise, on calcule séparément l’erreur |α − p/q| et le seuil imposé par q. Cette comparaison vérifie un cas particulier ; le théorème apporte en plus une conclusion globale sur le nombre fini de cas possibles.

Pour situer l’œuvre de Roth, on relie le résultat de 1955 à ses domaines de recherche : théorie analytique des nombres, approximation diophantienne et irrégularités de distribution. La médaille Fields reçue en 1958 signale l’importance reconnue de cette contribution.

Le théorème de Roth et le théorème de Thue-Siegel-Roth. Ces deux intitulés désignent ici le même résultat, et non deux théorèmes concurrents. Le critère décisif est l’énoncé sur l’approximation des nombres algébriques irrationnels par des rationnels avec un exposant supérieur à 2.

Une fraction très précise et une infinité de fractions très précises. Une fraction isolée peut satisfaire une exigence forte. Le théorème porte sur la répétition indéfinie : avec un exposant strictement supérieur à 2, il affirme que les fractions satisfaisantes sont en nombre fini.

Exposant exactement égal à 2. Le symptôme du piège est l’absence de marge ε strictement positive. Le théorème énoncé ne permet alors pas de conclure à la finitude ; il faut traiter ce cas frontière séparément.

Fini ne signifie pas nul. Trouver une fraction qui vérifie l’inégalité ne contredit pas Roth. Il faut éviter de transformer « un nombre fini de solutions » en « aucune solution » et examiner la répétition de l’approximation.

Nombre hors du domaine annoncé. Si le nombre étudié n’est pas à la fois algébrique et irrationnel, les hypothèses manquent. Le bon réflexe est d’identifier sa nature avant d’appliquer la conclusion sur l’exposant supérieur à 2.

La Fraction continue donne un autre accès aux approximations rationnelles et aide à comprendre comment des fractions successives se rapprochent d’un nombre.

La fiche médaille Fields replace la distinction reçue par Klaus Roth en 1958 dans son contexte mathématique.