algèbre alternative

Prenons trois facteurs, dont deux sont identiques. Dans une algèbre alternative, on peut déplacer les parenthèses autour de ces facteurs répétés sans changer le résultat. Ainsi, multiplier d’abord les deux exemplaires d’un même élément ou commencer par l’autre produit conduit à la même valeur dans les deux configurations prévues.

Cette liberté ressemble à l’associativité, mais elle est plus restreinte. Elle ne permet pas de déplacer les parenthèses dans un produit quelconque de trois éléments différents.

Une algèbre alternative est une algèbre sur un corps, noté K, dont la multiplication vérifie deux identités pour tous les éléments a et b. Le carré a² désigne le produit aa, et le carré b² désigne bb. Les identités sont $a^{2}b=a(ab)a^2b=a(ab)$ et $a{b}^2=(ab)bab^2=(ab)b$. La première autorise le regroupement lorsque les deux facteurs identiques sont à gauche. La seconde l’autorise lorsqu’ils sont à droite.

Toute algèbre associative satisfait ces deux relations, puisque les parenthèses peuvent alors être déplacées dans chaque produit de trois facteurs. La réciproque n’est pas imposée par la définition : les identités alternatives ne règlent pas, à elles seules, le produit de trois éléments tous différents. L’exemple canonique donné par la définition source est l’algèbre des octonions de Cayley, de dimension 8 sur le corps des réels. Les deux schémas de regroupement permis constituent donc la propriété déterminante, tandis que la dimension 8 appartient à cet exemple particulier.

Considérons l’algèbre associative des matrices carrées réelles à deux lignes. Prenons la matrice A de lignes (1, 1) et (0, 0), puis la matrice B de lignes (0, 0) et (1, 0).

1. Calculons les carrés :

2. Le produit de A par B est la matrice dont les lignes sont (1, 0) et (0, 0). Notons cette matrice C :

3. Pour l’identité de gauche, A²B = AB = C. D’autre part, A(AB) = AC = C. Les deux regroupements donnent donc la même matrice C.

4. Pour l’identité de droite, AB² = A0 = 0. D’autre part, (AB)B = CB = 0. Les deux regroupements donnent cette fois la matrice nulle. Le contrôle consiste à refaire les quatre produits entrée par entrée. Cet exemple vérifie les deux égalités pour A et B ; l’associativité de l’algèbre garantit qu’elles valent pour toutes ses matrices.

Face à un produit de trois facteurs, on commence par regarder lesquels se répètent. Le motif a, a, b autorise a²b = a(ab), tandis que le motif a, b, b autorise ab² = (ab)b.

Si l’algèbre est déjà connue comme associative, on peut déplacer toutes les parenthèses et les identités alternatives suivent automatiquement. Si seule l’alternativité est connue, on conserve les parenthèses pour trois facteurs différents.

Pour contrôler un calcul concret, on évalue séparément les deux côtés de l’identité pertinente. Une différence révèle soit une erreur de calcul, soit que la multiplication étudiée ne satisfait pas cette identité pour les éléments choisis.

Algèbre associative. Dans une algèbre associative, (ab)c = a(bc) pour tous les éléments a, b et c. Dans une algèbre alternative, les deux identités imposées ne concernent directement que les produits où un facteur est répété. Les octonions de Cayley illustrent précisément l’intérêt de cette distinction.

Commutativité. La commutativité compare l’ordre des facteurs, avec ab et ba. L’alternativité compare des parenthésages sans inverser les facteurs. Vérifier a²b = a(ab) ne dit donc pas que ab = ba.

Trois facteurs différents. De ab, c sans répétition, on ne peut pas conclure que (ab)c = a(bc) à partir des seules identités alternatives. Il faut conserver les parenthèses ou disposer d’une propriété supplémentaire.

Un seul essai ne suffit pas. L’égalité observée pour un couple particulier a, b ne prouve pas que toute l’algèbre est alternative. La définition exige les deux identités pour tous les couples d’éléments.

Cas associatif. Une algèbre associative est bien alternative, mais cet exemple ne montre pas ce que l’alternativité autorise au-delà de l’associativité. Pour observer cette portée propre, l’exemple canonique à examiner est l’algèbre réelle des octonions de Cayley.

Sens du carré. Dans a²b, le symbole a² signifie aa avec la multiplication de l’algèbre. Il ne faut pas le lire comme le carré d’un nombre ordinaire lorsque a est une matrice ou un autre élément algébrique.

Octonion. Ce prolongement présente l’exemple canonique d’algèbre alternative de dimension 8 sur les réels.

Algèbre. Cette entrée replace le corps K, l’addition, la multiplication et les lois de structure dans leur cadre général.