Hamilton William

En 1843, à Dublin, William Rowan Hamilton cherche à étendre les nombres complexes à davantage de dimensions. Il trouve les quaternions, des nombres formés de quatre composantes. Selon la légende, l'idée surgit pendant une promenade et il grave aussitôt leur formule sur un pont.

Cette scène résume son travail : faire apparaître une structure algébrique nouvelle à partir d'une difficulté théorique. Hamilton avait déjà relié ses recherches sur les rayons lumineux à une nouvelle formulation de la mécanique classique.

William Rowan Hamilton (1805–1865) est un mathématicien, astronome et physicien irlandais. Enfant prodige particulièrement doué pour les langues, il étudie au Trinity College de Dublin. Avant même la fin de ses études, il devient directeur de l'Observatoire royal d'Irlande et professeur d'astronomie au Trinity College. Il se tourne toutefois davantage vers la recherche théorique que vers l'observation astronomique.

Dès 1824, Hamilton élabore une théorie des systèmes de rayons lumineux. Ce travail mène à la théorie ondulatoire de la lumière et à la mécanique hamiltonienne, une reformulation de la mécanique classique qui jouera ensuite un rôle central dans le développement de la mécanique quantique.

En algèbre, Hamilton découvre les quaternions en 1843 en cherchant à généraliser les nombres complexes à des dimensions supérieures. Un quaternion possède quatre composantes et obéit notamment à la relation $i^2=j^2=k^2=ijk=-1i^2=j^2=k^2=ijk=-1$, où i, j et k sont les trois symboles introduits par cette loi de composition. Hamilton développe aussi la notion de vecteur et contribue aux équations algébriques de degré cinq ainsi qu'à la théorie des équations différentielles. Président de la Royal Irish Academy à partir de 1837, il occupe une place centrale dans la communauté scientifique irlandaise. La chronologie permet de distinguer ces résultats sans les attribuer à une même année.

Suivons une conséquence élémentaire de la règle des quaternions. Les données sont le symbole i et la relation i² = −1. Le calcul porte seulement sur les puissances successives de i.

1. On part de i² = −1.

2. On multiplie encore par i : i³ = i² × i = −i.

3. Une multiplication supplémentaire donne i⁴ = i² × i² = (−1) × (−1) = 1.

4. Le cycle recommence alors : i⁵ = i⁴ × i = i.

Le résultat vérifiable est un cycle de quatre puissances : i, −1, −i, 1. Pour le contrôler, il suffit de multiplier le dernier résultat par i : on retrouve i, premier terme du cycle. Cet exemple n'utilise qu'une partie de la loi complète, qui fait aussi intervenir j, k et le produit ijk.

Pour situer une contribution de Hamilton, le premier geste consiste à identifier son domaine. Les rayons lumineux et la mécanique relèvent de la physique mathématique ; les quaternions, les vecteurs et les équations relèvent de ses recherches algébriques.

Pour étudier la mécanique classique sous la forme introduite par Hamilton, on choisit la mécanique hamiltonienne. Si la question porte sur les nombres à quatre composantes et leur multiplication, le bon objet est plutôt le quaternion.

Pour lire sa biographie sans confondre fonction et activité, on sépare ses titres de ses travaux. Hamilton dirige l'Observatoire royal d'Irlande et enseigne l'astronomie, mais il privilégie la recherche théorique plutôt que l'observation astronomique.

Hamilton et un quaternion. Hamilton est la personne qui découvre ce système en 1843 ; un quaternion est un nombre hypercomplexe à quatre composantes. Une date ou une fonction universitaire désigne l'homme, tandis qu'une expression avec i, j et k désigne l'objet algébrique.

Mécanique hamiltonienne et mécanique quantique. La première est une reformulation de la mécanique classique due aux recherches de Hamilton. La seconde est un développement ultérieur dans lequel cette formulation jouera un rôle central. Le lien historique entre elles ne les rend donc pas identiques.

Astronomie théorique et observation astronomique. Le titre de directeur d'un observatoire pourrait suggérer une activité principalement tournée vers l'observation. Dans le cas de Hamilton, la source tranche : il est peu attiré par celle-ci et se consacre à la théorie.

Une anecdote reste une anecdote. Le récit de la formule gravée sur un pont de Dublin est présenté comme une légende. Il illustre la découverte des quaternions, mais ne doit pas être traité comme un fait établi par la seule définition source.

1843 ne date pas tous ses travaux. Cette année est celle de la découverte des quaternions. La théorie des rayons lumineux commence dès 1824, tandis que sa présidence de la Royal Irish Academy débute en 1837. Il faut rattacher chaque date au résultat précis que la source lui associe.

Une relation ne décrit pas tout le système. L'égalité i² = j² = k² = ijk = −1 identifie une loi fondamentale des quaternions. L'exemple des puissances de i n'épuise donc ni les quatre composantes ni toutes leurs compositions.

Quaternion — Pour approfondir le système à quatre composantes découvert par Hamilton et replacer sa relation fondamentale dans l'objet algébrique complet.