groupe quaternionique

Prenez huit symboles : 1, −1, puis trois paires ±i, ±j et ±k. Ils se multiplient, mais l'ordre du geste compte : i suivi de j donne k, tandis que j suivi de i donne −k. Cette inversion de signe rend le groupe quaternionique non abélien.

Chaque symbole i, j ou k revient à 1 après quatre multiplications par lui-même. En revanche, −1 revient à 1 dès la deuxième. Ces huit éléments reproduisent la multiplication des quaternions unitaires correspondants.

Le groupe quaternionique Q₈ est un groupe de huit éléments : {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}. L'élément 1 est l'identité. L'élément −1 est central, ce qui signifie qu'il commute avec tous les autres, et il est le seul élément d'ordre 2. Les six éléments ±i, ±j et ±k sont d'ordre 4.

La loi est fixée par i² = j² = k² = −1 et par ij = k, jk = i, ki = j. Inverser l'ordre de deux symboles distincts parmi i, j et k change le signe : ji = −k, kj = −i et ik = −j. Ainsi, ij ≠ ji et Q₈ n'est pas abélien. La relation ijk = −1 résume aussi cette orientation des produits.

Ses sous-groupes propres non triviaux sont {1, −1}, puis les trois groupes cycliques {1, −1, i, −i}, {1, −1, j, −j} et {1, −1, k, −k}. Avec le groupe diédral D₄ d'ordre 8, Q₈ est l'un des deux groupes non abéliens de cet ordre. Il s'identifie aux huit quaternions unitaires de Hamilton ±1, ±i, ±j et ±k.

La structure comporte quatre rôles. L'identité 1 laisse tout élément inchangé. L'élément central −1 transforme chaque lettre en son opposée. Les trois paires {i, −i}, {j, −j} et {k, −k} contiennent les six éléments d'ordre 4. Enfin, les relations entre i, j et k déterminent tous les produits : les produits dans l'ordre i puis j, j puis k, k puis i donnent respectivement k, i et j ; l'ordre inverse change le signe.

Le couple {1, −1} est commun aux trois sous-groupes cycliques d'ordre 4. En lui ajoutant l'une des paires ±i, ±j ou ±k, on obtient l'un de ces sous-groupes. Le schéma d'incidence rend cette dépendance visible : ses trois branches réunissent exactement les huit éléments, sans constituer une table de multiplication.

Comparons deux produits formés avec i et j, puis déterminons l'ordre de i. Cet exemple vérifie à la fois le défaut de commutativité et le retour à l'identité après quatre puissances.

Données.
Les éléments choisis sont i et j.
Les relations utiles sont ij = k, ji = −k et i² = −1.
L'élément 1 est l'identité.

Étape 1. Dans l'ordre i puis j, la relation donne ij = k.

Étape 2. Dans l'ordre inverse, elle donne ji = −k. Comme k et −k sont deux éléments distincts, ij ≠ ji : le groupe n'est pas abélien.

Étape 3. Pour les puissances de i, on obtient i² = −1, puis i³ = −i et enfin i⁴ = (−1)² = 1. Le premier retour à l'identité se produit à la quatrième puissance : i est d'ordre 4.

Contrôle. La même règle appliquée à j et à k donne j⁴ = 1 et k⁴ = 1, conformément aux trois sous-groupes cycliques d'ordre 4.

Pour simplifier un produit dans Q₈, on remplace d'abord chaque carré i², j² ou k² par −1, puis on remet les lettres dans l'ordre i, j, k. Chaque inversion de deux lettres distinctes change le signe. Ce geste évite de mémoriser les 64 cases d'une table complète.

Pour reconnaître Q₈ parmi les groupes non abéliens d'ordre 8, l'ordre et la non-commutativité ne suffisent pas, puisque le groupe diédral D₄ partage ces deux propriétés. On vérifie alors les relations sur i, j et k ainsi que l'unicité de l'élément d'ordre 2.

Dans le calcul quaternionique, les huit éléments de Q₈ forment un premier ensemble fermé à manipuler. Pour étudier plus largement la représentation des rotations de l'espace, on passe au cadre des quaternions unitaires dont ils sont des représentants particuliers.

Groupe quaternionique et ensemble des quaternions. Q₈ ne contient que les huit quaternions unitaires ±1, ±i, ±j et ±k. Un quaternion général n'est donc pas automatiquement un élément de Q₈ ; il faut vérifier qu'il appartient à cette liste.

Groupe quaternionique et groupe diédral D₄. Tous deux sont non abéliens et d'ordre 8, mais ces deux critères ne suffisent pas à les identifier. Une présentation de Q₈ doit retrouver ses relations sur i, j et k ainsi que son unique élément d'ordre 2.

Le signe ne peut pas être supprimé. Écrire seulement ij = k puis conclure ji = k ferait disparaître la non-commutativité. Le symptôme est l'obtention d'une loi symétrique. Il faut appliquer la relation ji = −k lorsque l'ordre est inversé.

Le symbole −1 est un élément du groupe. Il est central, mais il n'est pas l'identité : son carré vaut 1 et son ordre vaut 2. Confondre 1 et −1 ferait attribuer à i, j et k l'ordre 2 au lieu de l'ordre 4.

Des sous-groupes propres cycliques ne rendent pas Q₈ cyclique. Chacun des trois sous-groupes d'ordre 4 est engendré par i, j ou k, mais aucun ne contient les huit éléments. Il faut distinguer la structure du groupe entier de celle de ses sous-groupes propres.

La fiche quaternion élargit le regard au système numérique dont ±1, ±i, ±j et ±k sont les huit représentants retenus dans Q₈.

La fiche groupe diédral présente l'autre groupe non abélien d'ordre 8 cité avec Q₈ et permet de comparer leurs structures.

L'article Les débuts des groupes replace la notion de groupe dans son développement historique et donne un contexte plus large à cette structure.