Si distinguono tre tipi di fondamento della matematica. Il fondamento logico consiste nel dimostrare la non contraddittorietà dell’intero campo della matematica. Non deve essere possibile dimostrare, mediante due dimostrazioni valide, che una proposizione è al tempo stesso vera e falsa. Un fondamento assiomatico si dà un numero finito di assiomi dai quali deve essere possibile dedurre tutta la matematica, mediante le regole di deduzione di una data logica. Questa scelta corrisponde al quadro della teoria degli insiemi.
Il fondamento concettuale della matematica, rappresentato dalla teoria delle categorie, determina i concetti fondamentali e i loro legami, costituendo così la grammatica e la sintassi di un linguaggio universale che permette di pensare tutta la matematica. L’impostazione sottesa rispecchia il più puro spirito matematico: interessarsi alla sostanza più che alla forma; un gruppo è dunque più una struttura che un insieme! Questi ultimi due approcci sono fratelli: la teoria delle categorie può fungere da fondamento assiomatico e la teoria degli insiemi da fondamento concettuale. Per questo la nozione di relazione, inerente alla teoria degli insiemi e strettamente legata a quella di struttura, riveste un ruolo primario in matematica.
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Relazioni tra coppie
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