I diagrammi di Venn e i numeri primi
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La ricerca di diagrammi di Venn simmetrici (invarianti per rotazione) composti da ellissi ha dato luogo a studi notevoli. I matematici si scontravano già con il caso di quattro ellissi quando David Henderson dimostrò, nel 1963, che tali diagrammi non esistevano per n non primo! Ciò è legato al fatto che, per rotazione, una regione corrispondente all’intersezione di k insiemi è l’immagine di n altre regioni dello stesso tipo. Peraltro, vi sono regioni che rappresentano l’intersezione di k insiemi, quindi n deve sempre dividere .
Per esempio, nel caso n = 4, devono esserci sei regioni che rappresentano l’intersezione di due insiemi, ma 4 non divide 6…
Solo nel 1975 il matematico jugoslavo Branko Grünbaum presentò un esempio di diagramma di Venn simmetrico con cinque ellissi. Nel 2002 Peter Hamburger presentò un esempio di diagramma di Venn simmetrico con undici ellissi; un anno più tardi Jerrold Griggs, Charles Killian e Carla Savage dimostrarono infine che il disegno è effettivamente realizzabile per ogni numero primo n.
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Assiomi, ma anche regole della logica!
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La teoria degli insiemi è una teoria assiomatica, cioè si pongono inizialmente affermazioni che si considerano vere e dalle quali si deducono teoremi. Agli assiomi specifici della teoria degli insiemi si aggiungono gli assiomi e le regole di deduzione della logica classica. Tra queste regole, la seguente affermazione sembra ovvia, ma deve essere enunciata chiaramente: ciò che è vero per un qualunque elemento di un insieme è vero per tutti gli elementi dell’insieme.
Il modus ponens e il modus tollens sono altre due regole primitive del ragionamento. Il modus ponens, o distacco, afferma che da p (da un lato) e da p implica q (dall’altro) si può dedurre q. Prendiamo l’esempio in cui p è «piove» e p implica q è «se piove, allora prendo l’ombrello». Applicando il modus ponens in un giorno di pioggia, se ne deduce che prendo l’ombrello. Il modus tollens, invece, è una regola d’inferenza che stabilisce che, se una proposizione è valida, lo è anche la sua contrapposta. Per esempio, se la proposizione è «se piove, allora prendo l’ombrello», se non ho l’ombrello, il modus tollens consente di dedurre che non piove.
Combinando dunque gli assiomi tra loro mediante le regole di deduzione, si costruiscono teoremi. Questi non sono altro che conseguenze sintattiche degli assiomi di partenza!
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Cantor: due dimostrazioni per un teorema
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Georg Cantor si interessò agli insiemi infiniti fin dall’inizio degli anni 1870. Si chiedeva se esistessero infiniti di cardinalità diverse. In particolare, si può trovare una biiezione tra l’insieme dei numeri naturali e quello dei numeri reali, del quale aveva appena fornito una costruzione? Cantor diede già nel 1874 una risposta negativa alla domanda. La sua dimostrazione, piuttosto complessa, utilizza un argomento degli intervalli annidati e poi il fatto che ogni successione crescente e maggiorata ammette un limite.
Diciotto anni più tardi tornò a occuparsi dell’argomento, mentre stava costruendo la sua teoria delle cardinalità infinite. Fornì allora una nuova dimostrazione, molto più semplice, la cui facile estensione permette inoltre di mostrare che la cardinalità dell’insieme delle parti di un insieme è strettamente maggiore di quella dell’insieme stesso. Questo risultato è noto come teorema di Cantor. La seconda dimostrazione che propose, leggermente modificata, è stata resa popolare con il nome di argomento diagonale di Cantor.
